Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f e g forem contínuas em [a, b], então
\int_{a}^{b}[f(x) g(x)] d x=\left(\int_{a}^{b} f(x) d x\right)\left(\int_{a}^{b} g(x) d x\right)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que listamos abaixo:
Informações dadas:
f e g são funções contínuas em [a,b].
O que o enunciado pergunta:
Determinar se a afirmação\int_{a}^{b}[f(x)g(x)]\,dx = \left(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right)\left(\int_{a}^{b} g(x)\,dx\right)é verdadeira ou falsa.
Se for verdadeira, explicar por que. Se for falsa, explicar por que ou dar um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): vou mostrar um contraexemplo concreto com duas funções contínuas em um intervalo padrão (por exemplo [0,1]). Se eu encontrar duas funções contínuas para as quais os dois lados da igualdade forem diferentes, isso basta para mostrar que a afirmação não é verdadeira em geral. Também vou calcular as integrais passo a passo, lembrando as regras básicas de integração que usarei.
Passo 3
Escolho um contraexemplo simples: tomo
f(x)=x,\qquad g(x)=x,
definidas em [0,1]. Essas funções são contínuas em [0,1] (são polinômios), portanto satisfazem a hipótese do enunciado.
Os valores são diferentes (\tfrac{1}{3}\neq\tfrac{1}{4}), mostrando que a igualdade do enunciado não vale para essas funções contínuas.
Passo 7
Comentário didático (quando a igualdade pode ocorrer): a integral tem propriedade de linearidade (por exemplo \int (f+g)=\int f+\int g e \int c f = c\int f), mas não é multiplicativa em geral, isto é, não temos \int fg = (\int f)(\int g) para funções quaisquer. Em casos especiais a igualdade pode acontecer — por exemplo se uma das funções for identicamente zero, então ambos os lados valem zero; ou em situações muito particulares de normalização do intervalo e das funções — mas esses são casos especiais, não a regra.