Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f e g forem contínuas em [a, b], então
\int_{a}^{b}[f(x) g(x)] d x=\left(\int_{a}^{b} f(x) d x\right)\left(\int_{a}^{b} g(x) d x\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que listamos abaixo:
  • Informações dadas:
    • f e g são funções contínuas em [a,b].
  • O que o enunciado pergunta:
    • Determinar se a afirmação \int_{a}^{b}[f(x)g(x)]\,dx = \left(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right)\left(\int_{a}^{b} g(x)\,dx\right)é verdadeira ou falsa.
    • Se for verdadeira, explicar por que. Se for falsa, explicar por que ou dar um exemplo que mostre que é falsa.

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): vou mostrar um contraexemplo concreto com duas funções contínuas em um intervalo padrão (por exemplo [0,1]). Se eu encontrar duas funções contínuas para as quais os dois lados da igualdade forem diferentes, isso basta para mostrar que a afirmação não é verdadeira em geral. Também vou calcular as integrais passo a passo, lembrando as regras básicas de integração que usarei.

Passo 3

Escolho um contraexemplo simples: tomo
f(x)=x,\qquad g(x)=x,
definidas em [0,1]. Essas funções são contínuas em [0,1] (são polinômios), portanto satisfazem a hipótese do enunciado.

Passo 4

Calculo o lado esquerdo (integral do produto):
\int_{0}^{1} [f(x)g(x)]\,dx = \int_{0}^{1} x\cdot x\,dx = \int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Vou usar a fórmula básica de potenciais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=2,
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Calculo o lado direito (produto das integrais):
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2},
e como g=f,
\int_{0}^{1} g(x)\,dx = \frac{1}{2}.
Portanto o produto é
\left(\int_{0}^{1} f(x)\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} g(x)\,dx\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Passo 6

Comparando os dois resultados que obtivemos para o intervalo [0,1] com f(x)=g(x)=x:
\int_{0}^{1} [f(x)g(x)]\,dx = \frac{1}{3}, \qquad \left(\int_{0}^{1} f(x)\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} g(x)\,dx\right) = \frac{1}{4}.
Os valores são diferentes ( \tfrac{1}{3}\neq\tfrac{1}{4}), mostrando que a igualdade do enunciado não vale para essas funções contínuas.

Passo 7

Comentário didático (quando a igualdade pode ocorrer): a integral tem propriedade de linearidade (por exemplo \int (f+g)=\int f+\int g e \int c f = c\int f), mas não é multiplicativa em geral, isto é, não temos \int fg = (\int f)(\int g) para funções quaisquer. Em casos especiais a igualdade pode acontecer — por exemplo se uma das funções for identicamente zero, então ambos os lados valem zero; ou em situações muito particulares de normalização do intervalo e das funções — mas esses são casos especiais, não a regra.

Resposta

Falsa

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