Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
11. Todas as funções contínuas têm derivadas.
11. Todas as funções contínuas têm derivadas.
Passo 1
O enunciado afirma: “Todas as funções contínuas têm derivadas.”
Precisamos dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Não há dados numéricos nem figura: só uma afirmação universal sobre funções. Nosso objetivo é analisar o sentido da afirmação e decidir se ela vale para todas as funções contínuas; se for falsa, apresentar uma explicação e um contraexemplo.
Precisamos dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Não há dados numéricos nem figura: só uma afirmação universal sobre funções. Nosso objetivo é analisar o sentido da afirmação e decidir se ela vale para todas as funções contínuas; se for falsa, apresentar uma explicação e um contraexemplo.
Passo 2
Definições (muito importantes e intuitivas):
- Uma função
é contínua em um ponto se
Isto significa que, ao aproximarmos
de
, os valores
se aproximam de
— sem saltos.
- A função
é diferenciável em se existir o limite
Se esse limite existe (finito), chamamos esse número de derivada de
em
. A derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto
.
Vou explicar com calma: na definição da derivada, a expressão
é a taxa média de variação de
em torno de
; a derivada é o limite dessa taxa média quando o incremento
vai a zero.
Passo 3
Uma observação teórica útil (e frequentemente cobrada): se
é diferenciável em
então
é contínua em
. Vou provar isso de forma direta e simples, porque ajuda a entender por que diferenciabilidade é uma condição mais forte que continuidade.
Prova: suponha que
existe. Então, para
,
Como
, temos
por hipótese, e
. Portanto o produto tende a
; isto é,
Isto implica que
, logo
é contínua em
. QED.
Comentário amigável: essa prova mostra que derivada implica continuidade, mas não diz nada sobre o contrário — ou seja, funções contínuas nem sempre têm derivada. Agora vamos ver um contraexemplo concreto.
Passo 4
Contraexemplo padrão e muito didático: a função valor absoluto
Primeiro, mostro que
é contínua em todo
. Para qualquer
,
porque valor absoluto é uma função sem saltos (você pode também usar desigualdade triangular para um argumento formal). Em particular,
é contínua em
.
Agora avalio a derivada em
usando a definição de limite:
Calculemos as duas limitações unilaterais (isso é o jeito prático para ver se o limite existe):
Para
(aproximação pela direita),
logo
Para
(aproximação pela esquerda),
logo
Como as duas laterais são diferentes (
e
), o limite
não existe. Portanto
não existe: a função
não é diferenciável em
, apesar de ser contínua em
.
Intuição geométrica (curtiu?): o gráfico de
tem uma “quina” (um canto) em
, sem uma única reta tangente bem definida ali — para a direita a inclinação é
, para a esquerda é
.
Passo 5
Conclusão e generalização: mostramos que existe pelo menos uma função contínua que não tem derivada em todo ponto — portanto a afirmação “Todas as funções contínuas têm derivadas” é falsa. Além do exemplo
, existem construções muito mais extremas: por exemplo, a função de Weierstrass é contínua em todo lugar e não é diferenciável em nenhum ponto. Isso reforça que continuidade e diferenciabilidade são propriedades distintas; diferenciabilidade é mais forte.
Resposta
Falsa. Por exemplo,
é contínua em todo
mas não é diferenciável em
(pois
e
).