Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
11. Todas as funções contínuas têm derivadas.

Passo 1

O enunciado afirma: “Todas as funções contínuas têm derivadas.”
Precisamos dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Não há dados numéricos nem figura: só uma afirmação universal sobre funções. Nosso objetivo é analisar o sentido da afirmação e decidir se ela vale para todas as funções contínuas; se for falsa, apresentar uma explicação e um contraexemplo.

Passo 2

Definições (muito importantes e intuitivas):
  • Uma função f é contínua em um ponto a se
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Isto significa que, ao aproximarmos x de a, os valores f(x) se aproximam de f(a) — sem saltos.
  • A função f é diferenciável em a se existir o limite
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Se esse limite existe (finito), chamamos esse número de derivada de f em a. A derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto a.
Vou explicar com calma: na definição da derivada, a expressão \frac{f(a+h)-f(a)}{h} é a taxa média de variação de f em torno de a; a derivada é o limite dessa taxa média quando o incremento h vai a zero.

Passo 3

Uma observação teórica útil (e frequentemente cobrada): se f é diferenciável em a então f é contínua em a. Vou provar isso de forma direta e simples, porque ajuda a entender por que diferenciabilidade é uma condição mais forte que continuidade.
Prova: suponha que f'(a) existe. Então, para h\neq0,
f(a+h)-f(a) = h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Como h\to0, temos \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a) por hipótese, e h\to0. Portanto o produto tende a 0; isto é,
\lim_{h\to0} \bigl(f(a+h)-f(a)\bigr)=0.
Isto implica que \lim_{x\to a} f(x)=f(a), logo f é contínua em a. QED.
Comentário amigável: essa prova mostra que derivada implica continuidade, mas não diz nada sobre o contrário — ou seja, funções contínuas nem sempre têm derivada. Agora vamos ver um contraexemplo concreto.

Passo 4

Contraexemplo padrão e muito didático: a função valor absoluto
f(x)=|x|.
Primeiro, mostro que f é contínua em todo \mathbb{R}. Para qualquer a,
\lim_{x\to a}|x| = |a| = f(a),
porque valor absoluto é uma função sem saltos (você pode também usar desigualdade triangular para um argumento formal). Em particular, f é contínua em 0.
Agora avalio a derivada em 0 usando a definição de limite:
\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{|h|-0}{h} = \lim_{h\to0}\frac{|h|}{h}.
Calculemos as duas limitações unilaterais (isso é o jeito prático para ver se o limite existe):
Para h>0 (aproximação pela direita),
\frac{|h|}{h} = \frac{h}{h} = 1,
logo
\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h} = 1.
Para h<0 (aproximação pela esquerda),
\frac{|h|}{h} = \frac{-h}{h} = -1,
logo
\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h} = -1.
Como as duas laterais são diferentes ( 1 e -1), o limite \lim_{h\to0}\frac{|h|}{h} não existe. Portanto f'(0) não existe: a função |x| não é diferenciável em 0, apesar de ser contínua em 0.
Intuição geométrica (curtiu?): o gráfico de |x| tem uma “quina” (um canto) em x=0, sem uma única reta tangente bem definida ali — para a direita a inclinação é 1, para a esquerda é -1.

Passo 5

Conclusão e generalização: mostramos que existe pelo menos uma função contínua que não tem derivada em todo ponto — portanto a afirmação “Todas as funções contínuas têm derivadas” é falsa. Além do exemplo |x|, existem construções muito mais extremas: por exemplo, a função de Weierstrass é contínua em todo lugar e não é diferenciável em nenhum ponto. Isso reforça que continuidade e diferenciabilidade são propriedades distintas; diferenciabilidade é mais forte.

Resposta

Falsa. Por exemplo, f(x)=|x| é contínua em todo \mathbb{R} mas não é diferenciável em 0 (pois \lim_{h\to0^+}\tfrac{|h|}{h}=1 e \lim_{h\to0^-}\tfrac{|h|}{h}=-1).

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