Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
Se
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- É dada uma função
contínua em . - Os valores nos extremos são
e . - A afirmação a ser verificada é: existe um número
tal que e .
Essas são todas as informações relevantes do enunciado e a pergunta que precisamos responder.
Passo 2
Conceitos e ferramenta que vou usar (explicação didática):
- Continuidade em um intervalo
significa, intuitivamente, que a função não tem “buracos” nem saltos nesse intervalo: ao variar um pouco, também varia um pouco. Formalmente, para cada ponto e para cada existe tal que implica . - Teorema fundamental que vamos aplicar (enunciado claro em TeX): se
é contínua em e é qualquer número entre e (isto é, ), então existe tal que . - Aqui
e são os extremos do intervalo, e são os valores nos extremos, é o valor intermediário que queremos atingir, e é o ponto do intervalo cujo valor de é .
- Aqui
- Intuição simples: uma curva contínua que vai de
a tem que passar por todos os valores entre esses dois; não pode “pular” um valor sem descontinuidades.
Passo 3
Verificar se
está entre os valores
e
:
- É conhecido que
. Em notação: - Comparando com os extremos dados:
portanto
Logo
é um número estritamente entre
e
.
Passo 4
Aplicação do teorema (passo principal):
- Como
é contínua em e está entre e , pelo teorema citado existe tal que
Passo 5
Garantir que o ponto
está estritamente dentro do intervalo (isto é,
):
- Verificamos os valores nos extremos:
e . - Portanto o
que satisfaz não pode coincidir com nem com ; assim . - Definindo
, obtemos um número com tal que .
Passo 6
Observações úteis para a prova (como aplicar esse raciocínio rápido):
- Passos práticos: (i) calcular/identificar
e ; (ii) verificar se o valor desejado satisfaz ; (iii) usar o teorema para concluir existência de ; (iv) checar se ou já são iguais a quando for necessário garantir que é interno. - Observação: a existência está garantida, unicidade não — pode haver mais de um
com , mas a questão só pede existência.
Resposta
Verdadeira