Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f\\") for contínua em \([-1,1]\\\") e \(f(-1)=4\\") e \(f(1)=3\\"), então existe um número \(r\\") tal que \(|r|<1\\") e \(f(r)=\pi\\").

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • É dada uma função f contínua em [-1,1].
  • Os valores nos extremos são f(-1)=4 e f(1)=3.
  • A afirmação a ser verificada é: existe um número r tal que |r|<1 e f(r)=\pi.
Essas são todas as informações relevantes do enunciado e a pergunta que precisamos responder.

Passo 2

Conceitos e ferramenta que vou usar (explicação didática):
  • Continuidade em um intervalo [-1,1] significa, intuitivamente, que a função não tem “buracos” nem saltos nesse intervalo: ao variar x um pouco, f(x) também varia um pouco. Formalmente, para cada ponto x_0\in[-1,1] e para cada \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |x-x_0|<\delta implica |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
  • Teorema fundamental que vamos aplicar (enunciado claro em TeX): se f é contínua em [a,b] e y é qualquer número entre f(a) e f(b) (isto é, \min\{f(a),f(b)\}\le y\le\max\{f(a),f(b)\}), então existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=y.
    • Aqui a e b são os extremos do intervalo, f(a) e f(b) são os valores nos extremos, y é o valor intermediário que queremos atingir, e c é o ponto do intervalo cujo valor de f é y.
  • Intuição simples: uma curva contínua que vai de f(a) a f(b) tem que passar por todos os valores entre esses dois; não pode “pular” um valor sem descontinuidades.

Passo 3

Verificar se \pi está entre os valores f(-1) e f(1):
  • É conhecido que \pi\approx3,14159. Em notação: \pi\approx3,14159.
  • Comparando com os extremos dados: f(1)=3 \quad\text{e}\quad f(-1)=4,portanto 3 = f(1) < \pi < f(-1) = 4.
Logo \pi é um número estritamente entre f(1) e f(-1).

Passo 4

Aplicação do teorema (passo principal):
  • Como f é contínua em [-1,1] e \pi está entre f(1) e f(-1), pelo teorema citado existe c\in[-1,1] tal que f\text{(c)}=\pi.

Passo 5

Garantir que o ponto c está estritamente dentro do intervalo (isto é, |c|<1):
  • Verificamos os valores nos extremos: f(-1)=4\neq\pi e f(1)=3\neq\pi.
  • Portanto o c que satisfaz f\text{(c)}=\pi não pode coincidir com -1 nem com 1; assim c\in(-1,1).
  • Definindo r=c, obtemos um número r com |r|<1 tal que f(r)=\pi.

Passo 6

Observações úteis para a prova (como aplicar esse raciocínio rápido):
  • Passos práticos: (i) calcular/identificar f(a) e f(b); (ii) verificar se o valor desejado y satisfaz \min\{f(a),f(b)\}<y<\max\{f(a),f(b)\}; (iii) usar o teorema para concluir existência de c\in[a,b]; (iv) checar se f(a) ou f(b) já são iguais a y quando for necessário garantir que c é interno.
  • Observação: a existência está garantida, unicidade não — pode haver mais de um r com f(r)=\pi, mas a questão só pede existência.

Resposta

Verdadeira

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