Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se a reta x=1\\") for uma assíntota vertical de \(y=f(x)\\, então f\\") não está definida em 1 .ãá

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Dado: a reta x=1 é uma assíntota vertical da função y=f(x).
  • Afirmação a verificar: “Se a reta x=1 for uma assíntota vertical de y=f(x), então f não está definida em 1.”
  • Pedido: determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa; se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um exemplo que mostre que é falsa.

Passo 2

Entender bem a definição de assíntota vertical (a lição-chave).
  • Uma definição comum: diz-se que x=a é uma assíntota vertical de y=f(x) se pelo menos uma das seguintes coisas ocorrer: \lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty.Em palavras: quando x se aproxima de a (pela esquerda ou pela direita), os valores de f(x) crescem sem limite em módulo (tendem para +\infty ou para -\infty).
  • Observação importante sobre a definição: essa definição fala do comportamento de f(x) quando x se aproxima de a, ou seja, fala de limites laterais. Não menciona diretamente se o valor f(a) existe ou não. Portanto, a existência (ou não) de f(a) não entra na própria condição que define a assíntota vertical.

Passo 3

Conseqüência lógica da definição (explicação didática).
  • Como a definição depende só de limites quando x se aproxima de a, é perfeitamente possível que f(a) esteja definido (com um número finito qualquer) e, apesar disso, as aproximações por ambos os lados façam f(x) explodir para infinito. Nesse caso o ponto (a,f(a)) é apenas um valor atribuído em a, mas não altera o comportamento dos limites laterais.
  • Em outras palavras: a presença de uma assíntota vertical é uma propriedade do comportamento de f perto de a, não da definição pontual de f em a. Logo, a afirmação original ("então f não está definida em 1") não segue obrigatoriamente da definição.

Passo 4

Contraexemplo concreto e verificação passo a passo (a melhor forma de mostrar que é falsa).
  • Defina a função f\) por \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x-1}, & x\neq 1,\\[6pt] 0, & x=1. \end{cases}Aqui foi explicitamente atribuído um valor finito f(1)=0\]. - Calcular os limites laterais quando \(x\to 1:
    - Para x\to 1^- (valores menores que 1 aproximando de 1), o denominador x-1 é um número negativo que tende a 0, então \dfrac{1}{x-1}\to -\infty. Assim \lim_{x\to 1^-} f(x)= -\infty.
    • Para x\to 1^+ (valores maiores que 1 aproximando de 1), o denominador é positivo pequeno, então \dfrac{1}{x-1}\to +\infty. Assim \lim_{x\to 1^+} f(x)= +\infty.
  • Conclusão do contraexemplo: como pelo menos uma das limites laterais é infinita (na verdade ambas o são), a reta x=1 é uma assíntota vertical de y=f(x) segundo a definição. Mas, por construção, f(1)=0 existe — logo f está definida em 1.
  • Portanto este exemplo mostra explicitamente que a afirmação do enunciado é falsa.]

Passo 5

Observações finais e dica prática para a prova
  • Em provas, quando alguém pergunta se uma assíntota vertical implica que a função não está definida no ponto, responda: “Nem sempre.” Explique que a assíntota trata de limites laterais; a função pode ter ou não valor atribuído no ponto sem alterar os limites.
  • Em contraposição, se a função tem uma descontinuidade essencial do tipo explosão (limites laterais infinitos), normalmente a função é apresentada sem valor no ponto; mas mesmo que o autor atribua um valor arbitrário no ponto, isso não remove a assíntota.
  • Dica rápida: para checar assíntota vertical, sempre calcule \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x); a existência de f(a) é irrelevante para a assíntota.

Resposta

Falsa

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