Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se a reta
, então
Se a reta , então
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Dado: a reta
é uma assíntota vertical da função . - Afirmação a verificar: “Se a reta
for uma assíntota vertical de , então não está definida em .” - Pedido: determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa; se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 2
Entender bem a definição de assíntota vertical (a lição-chave).
- Uma definição comum: diz-se que
é uma assíntota vertical de se pelo menos uma das seguintes coisas ocorrer: Em palavras: quando se aproxima de (pela esquerda ou pela direita), os valores de crescem sem limite em módulo (tendem para ou para ). - Observação importante sobre a definição: essa definição fala do comportamento de
quando se aproxima de , ou seja, fala de limites laterais. Não menciona diretamente se o valor existe ou não. Portanto, a existência (ou não) de não entra na própria condição que define a assíntota vertical.
Passo 3
Conseqüência lógica da definição (explicação didática).
- Como a definição depende só de limites quando
se aproxima de , é perfeitamente possível que esteja definido (com um número finito qualquer) e, apesar disso, as aproximações por ambos os lados façam explodir para infinito. Nesse caso o ponto é apenas um valor atribuído em , mas não altera o comportamento dos limites laterais. - Em outras palavras: a presença de uma assíntota vertical é uma propriedade do comportamento de
perto de , não da definição pontual de em . Logo, a afirmação original ("então não está definida em ") não segue obrigatoriamente da definição.
Passo 4
Contraexemplo concreto e verificação passo a passo (a melhor forma de mostrar que é falsa).
- Defina a função
Aqui foi explicitamente atribuído um valor finito
:
- Para(valores menores que aproximando de ), o denominador é um número negativo que tende a , então . Assim - Para
(valores maiores que aproximando de ), o denominador é positivo pequeno, então . Assim
- Para
- Conclusão do contraexemplo: como pelo menos uma das limites laterais é infinita (na verdade ambas o são), a reta
é uma assíntota vertical de segundo a definição. Mas, por construção, existe — logo está definida em . - Portanto este exemplo mostra explicitamente que a afirmação do enunciado é falsa.]
Passo 5
Observações finais e dica prática para a prova
- Em provas, quando alguém pergunta se uma assíntota vertical implica que a função não está definida no ponto, responda: “Nem sempre.” Explique que a assíntota trata de limites laterais; a função pode ter ou não valor atribuído no ponto sem alterar os limites.
- Em contraposição, se a função tem uma descontinuidade essencial do tipo explosão (limites laterais infinitos), normalmente a função é apresentada sem valor no ponto; mas mesmo que o autor atribua um valor arbitrário no ponto, isso não remove a assíntota.
- Dica rápida: para checar assíntota vertical, sempre calcule
e ; a existência de é irrelevante para a assíntota.
Resposta
Falsa