Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f(1)>0\\") e \(f(3)<0\\"), então existe um número \(c\\") entre 1 e 3 tal que \(f\text{(c)}=0\\").

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Tem-se uma função f definida (pelo menos) nos pontos 1 e 3.
  • Sabe-se que f(1)>0.
  • Sabe-se que f(3)<0.
A pergunta pedida é: a afirmação "existe um número c entre 1 e 3 tal que f\text{(c)}=0" é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um exemplo que a mostre falsa.

Passo 2

Resposta rápida (sem demonstrar ainda): a afirmação, tal como está escrita (sem hipótese adicional sobre f), é falsa. Vou mostrar um contraexemplo simples e depois explicar qual hipótese extra torna a afirmação verdadeira e por quê.

Passo 3

Construção do contraexemplo (função que mostra que a afirmação é falsa):
Defina a função f:[1,3]\to\mathbb{R}\) por \[f(x)=\begin{cases} 1,& 1\le x<2,\\[4pt] -1,& 2\le x\le 3. \end{cases}
Verificações:
  • f(1)=1>0\]. - \(f(3)=-1<0.
    - Para qualquer x com 1\le x<2 tem-se f(x)=1 e para qualquer x com 2\le x\le3 tem-se f(x)=-1. Em nenhum ponto do intervalo [1,3] o valor de f é 0. Em particular, não existe c\in(1,3) tal que f\text{(c)}=0.
Portanto este exemplo satisfaz f(1)>0 e f(3)<0 mas não tem raiz entre 1 e 3. Isso prova que a afirmação geral (sem hipóteses adicionais) é falsa.]

Passo 4

Intuição do porquê: o contraexemplo tem um salto (discontinuidade) em x=2. O que impede a existência de um ponto com valor 0 é justamente a falta de continuidade: a função “pula” de valores positivos para negativos sem passar por zero.

Passo 5

Agora explico qual hipótese extra torna a afirmação verdadeira: se acrescentarmos que f é contínua no intervalo [1,3] (ou pelo menos contínua em (1,3) e contínua à esquerda em 3 e à direita em 1), então a afirmação passa a ser verdadeira. Esta é a versão conhecida do Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano para o caso de raiz).
Enunciado do teorema relevante (forma usada aqui):
Se f é contínua em [1,3] e f(1) e f(3) têm sinais opostos (isto é, f(1)\cdot f(3)<0), então existe c\in(1,3) tal que f\text{(c)}=0.

Passo 6

Explicação didática do porquê do Teorema do Valor Intermediário (prova curta e elementar):
  • Defina o conjunto S=\{x\in[1,3]: f(x)>0\}.
  • Como f(1)>0, o conjunto S não é vazio. Como S\subset[1,3], S é limitado superiormente por 3. Logo S tem um supremo, escreva c=\sup S. Assim c\in[1,3].
  • Mostrar que f\text{(c)}=0:
    • Se f\text{(c)}>0, pela continuidade existe \delta>0 tal que para todo x com |x-c|<\delta tem-se f(x)>0. Então há pontos maiores que c e próximos a c que pertencem a S, o que contradiz que c é o supremo de S. Logo não pode acontecer f\text{(c)}>0.
    • Se f\text{(c)}<0, pela continuidade existe \delta>0 tal que para todo x com |x-c|<\delta tem-se f(x)<0. Assim não haveria pontos de S arbitrariamente próximos por baixo de c, o que contradiz que c é o menor limite superior de S (isto é, contradiz a propriedade de supremum de admitir pontos de S tão próximos quanto se queira por baixo). Logo não pode acontecer f\text{(c)}<0.
    • Como f\text{(c)} não pode ser nem positivo nem negativo, segue que f\text{(c)}=0.
  • Portanto existe c\in(1,3) com f\text{(c)}=0.
Essa prova explicitamente usa apenas a definição de continuidade e propriedades simples de supremo; é uma prova padrão de Bolzano/Valor Intermediário.

Passo 7

Resumo final e motivação para a prova:
  • Sem continuidade a afirmação é falsa (ex.: função em degrau acima dá contraexemplo).
  • Com continuidade em [1,3] a afirmação é verdadeira por causa do Teorema do Valor Intermediário (ou do Teorema de Bolzano), cuja ideia principal é que uma função contínua não pode saltar de um valor positivo para um valor negativo sem assumir todos os valores intermediários, incluindo 0.
Força aí — quando o enunciado de uma afirmação sobre existência de raízes fala que “existe” normalmente é crucial checar se o enunciado assume continuidade; sem ela, surgem contraexemplos fáceis.

Resposta

Falsa.

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