Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Tem-se uma função
definida (pelo menos) nos pontos e . - Sabe-se que
. - Sabe-se que
.
A pergunta pedida é: a afirmação "existe um número
entre
e
tal que
" é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um exemplo que a mostre falsa.
Passo 2
Resposta rápida (sem demonstrar ainda): a afirmação, tal como está escrita (sem hipótese adicional sobre
), é falsa. Vou mostrar um contraexemplo simples e depois explicar qual hipótese extra torna a afirmação verdadeira e por quê.
Passo 3
Construção do contraexemplo (função que mostra que a afirmação é falsa):
Defina a função
Verificações:
-
.
- Para qualquercom tem-se e para qualquer com tem-se . Em nenhum ponto do intervalo o valor de é . Em particular, não existe tal que .
Portanto este exemplo satisfaz
e
mas não tem raiz entre
e
. Isso prova que a afirmação geral (sem hipóteses adicionais) é falsa.]
Passo 4
Intuição do porquê: o contraexemplo tem um salto (discontinuidade) em
. O que impede a existência de um ponto com valor
é justamente a falta de continuidade: a função “pula” de valores positivos para negativos sem passar por zero.
Passo 5
Agora explico qual hipótese extra torna a afirmação verdadeira: se acrescentarmos que
é contínua no intervalo
(ou pelo menos contínua em
e contínua à esquerda em
e à direita em
), então a afirmação passa a ser verdadeira. Esta é a versão conhecida do Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano para o caso de raiz).
Enunciado do teorema relevante (forma usada aqui):
Se é contínua em
e
e
têm sinais opostos (isto é,
), então existe
tal que
.
Se
Passo 6
Explicação didática do porquê do Teorema do Valor Intermediário (prova curta e elementar):
- Defina o conjunto
. - Como
, o conjunto não é vazio. Como , é limitado superiormente por . Logo tem um supremo, escreva . Assim . - Mostrar que
: - Se
, pela continuidade existe tal que para todo com tem-se . Então há pontos maiores que e próximos a que pertencem a , o que contradiz que é o supremo de . Logo não pode acontecer . - Se
, pela continuidade existe tal que para todo com tem-se . Assim não haveria pontos de arbitrariamente próximos por baixo de , o que contradiz que é o menor limite superior de (isto é, contradiz a propriedade de supremum de admitir pontos de tão próximos quanto se queira por baixo). Logo não pode acontecer . - Como
não pode ser nem positivo nem negativo, segue que .
- Se
- Portanto existe
com .
Essa prova explicitamente usa apenas a definição de continuidade e propriedades simples de supremo; é uma prova padrão de Bolzano/Valor Intermediário.
Passo 7
Resumo final e motivação para a prova:
- Sem continuidade a afirmação é falsa (ex.: função em degrau acima dá contraexemplo).
- Com continuidade em
a afirmação é verdadeira por causa do Teorema do Valor Intermediário (ou do Teorema de Bolzano), cuja ideia principal é que uma função contínua não pode saltar de um valor positivo para um valor negativo sem assumir todos os valores intermediários, incluindo .
Força aí — quando o enunciado de uma afirmação sobre existência de raízes fala que “existe” normalmente é crucial checar se o enunciado assume continuidade; sem ela, surgem contraexemplos fáceis.
Resposta
Falsa.