Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
A equação x^{10}-10 x^{2}+5=0\\") tem uma raiz no intervalo \((0,2)\".)

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{10}-10 x^{2}+5=0
e pede para determinar se essa equação tem uma raiz no intervalo (0,2).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão do polinômio é x^{10}-10 x^{2}+5.
  • O intervalo em questão é (0,2).
  • A pergunta é só existencia de alguma raiz nesse intervalo (não pede localizá-la exatamente nem quantas há).

Passo 2

Defino a função associada à equação:
f(x)=x^{10}-10x^{2}+5.
Vou avaliar f em alguns pontos simples dentro do intervalo [0,2] para ver se há mudança de sinal (isso costuma indicar existência de raiz). Primeiro avalio em x=0:
f(0)=0^{10}-10\cdot0^{2}+5=5.
Portanto f(0)=5>0.

Passo 3

Agora avalio em x=1:
f(1)=1^{10}-10\cdot1^{2}+5=1-10+5=-4.
Portanto f(1)=-4<0.

Passo 4

Explicando o princípio usado (a “aula” rápida): se uma função f é contínua num intervalo [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Esta é a ideia do Teorema do Valor Intermediário. Aqui:
  • f é um polinômio, e polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. (Continuidade de polinômios: soma e produto de funções contínuas são contínuas; monômios x^n são contínuos; logo polinômios são contínuos.)
  • Temos f(0)=5>0 e f(1)=-4<0, ou seja, f(0)\cdot f(1)=-20<0.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c\in(0,1)\subset(0,2) tal que
f\text{(c)}=0.
Isso prova que existe pelo menos uma raiz no intervalo (0,2).

Passo 5

Bônus (informação adicional que ajuda a entender melhor a função): avaliando em x=2 obtemos
f(2)=2^{10}-10\cdot2^{2}+5=1024-40+5=989>0.
Como f(1)=-4<0 e f(2)=989>0, também há mudança de sinal entre 1 e 2, então existe pelo menos uma raiz em (1,2) também. Assim, na verdade há pelo menos duas raízes distintas no intervalo (0,2): uma em (0,1) e outra em (1,2). (Isto não era exigido, mas é um detalhe curioso e verdadeiro.)

Resposta

Verdadeira.

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