Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
A equação
".)
A equação ".)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar se essa equação tem uma raiz no intervalo
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão do polinômio é
. - O intervalo em questão é
. - A pergunta é só existencia de alguma raiz nesse intervalo (não pede localizá-la exatamente nem quantas há).
Passo 2
Defino a função associada à equação:
Vou avaliar
em alguns pontos simples dentro do intervalo
para ver se há mudança de sinal (isso costuma indicar existência de raiz). Primeiro avalio em
:
Portanto
.
Passo 3
Agora avalio em
:
Portanto
.
Passo 4
Explicando o princípio usado (a “aula” rápida): se uma função
é contínua num intervalo
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um ponto
tal que
. Esta é a ideia do Teorema do Valor Intermediário. Aqui:
-
é um polinômio, e polinômios são funções contínuas em todo . (Continuidade de polinômios: soma e produto de funções contínuas são contínuas; monômios são contínuos; logo polinômios são contínuos.) - Temos
e , ou seja, .
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
Isso prova que existe pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 5
Bônus (informação adicional que ajuda a entender melhor a função): avaliando em
obtemos
Como
e
, também há mudança de sinal entre
e
, então existe pelo menos uma raiz em
também. Assim, na verdade há pelo menos duas raízes distintas no intervalo
: uma em
e outra em
. (Isto não era exigido, mas é um detalhe curioso e verdadeiro.)
Resposta
Verdadeira.