Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3},(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{u}=0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Afirmativa: “Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3}, (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u}=0.”
Informações dadas:
  • Dois vetores arbitrários \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3} (ou seja, em \mathbb{R}^{3} ou espaço vetorial tridimensional).
  • A operação \times é o produto vetorial (cross product) e \cdot é o produto escalar (dot product).
O que se pede: afirmar se a igualdade vale para quaisquer \mathbf{u} e \mathbf{v} e justificar (provar) ou dar um contraexemplo.

Passo 2

Explicando a ideia intuitiva e a definição útil.
  • Produto vetorial: para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} em \mathbb{R}^{3}, o vetor \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a ambos \mathbf{a} e \mathbf{b}. “Perpendicular” significa que o produto escalar entre \mathbf{a} e \mathbf{a}\times\mathbf{b} é zero, e o mesmo para \mathbf{b}.
  • Produto escalar: \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=0 exatamente quando \mathbf{x} é ortogonal (perpendicular) a \mathbf{y}.
Portanto, se for verdade que \mathbf{u}\times\mathbf{v} é perpendicular a \mathbf{u}, então (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u}=0. Precisamos mostrar isso rigorosamente.

Passo 3

Demonstração usando o produto misto (determinante/triple product).
Existe uma identidade conhecida chamada produto escalar do produto vetorial (produto misto):
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\det[\mathbf{a}\\ \mathbf{b}\\ \mathbf{c}],
onde o lado direito é o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}. Esse valor é o volume algébrico do paralelepípedo formado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
Se em particular duas dessas colunas são iguais, o determinante é zero. Aplicando isso com \mathbf{a}=\mathbf{u}, \mathbf{b}=\mathbf{u}, \mathbf{c}=\mathbf{v}, obtém-se
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=\det[\mathbf{u}\\ \mathbf{u}\\ \mathbf{v}]=0,
porque as duas primeiras colunas são iguais. Assim (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u}=0.

Passo 4

Demonstração com cálculos coordenados (mostra “passo a passo” algébrico, útil para prova sem apelidos).
Escreva \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}). Então
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\;u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\;u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\big).
Agora faça o produto escalar com \mathbf{u}:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u} = u_{1}(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})+u_{2}(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})+u_{3}(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}).
Expanda e reorganize os termos:
\begin{aligned} &= u_{1}u_{2}v_{3}-u_{1}u_{3}v_{2} + u_{2}u_{3}v_{1}-u_{1}u_{2}v_{3} + u_{3}u_{1}v_{2}-u_{2}u_{3}v_{1} \\\ &= \big(u_{1}u_{2}v_{3}-u_{1}u_{2}v_{3}\big) + \big(-u_{1}u_{3}v_{2}+u_{3}u_{1}v_{2}\big) + \big(u_{2}u_{3}v_{1}-u_{2}u_{3}v_{1}\big) \\\ &= 0+0+0=0. \end{aligned}
Cada par cancela, mostrando explicitamente que o resultado é zero.

Passo 5

Interpretação geométrica curta e dica para prova/consulta rápida.
Geometricamente, \mathbf{u}\times\mathbf{v} é perpendicular ao plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}; portanto é perpendicular a \mathbf{u} (salvo casos degenerados com \mathbf{u}=\mathbf{0}, onde a igualdade também vale). Em provas rápidas, pode-se citar a identidade do produto misto ou a propriedade “cross product é ortogonal aos fatores” para justificar em uma linha.
Dica para prova: lembrar que \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) é um determinante e que determinante com colunas repetidas é zero — isso resolve muitas questões de ortogonalidade envolvendo produto vetorial.

Resposta

Verdadeira.

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