Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores
e
em
.
Para quaisquer vetores
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Afirmativa: “Para quaisquer vetores
e
em
,
.”
Informações dadas:
- Dois vetores arbitrários
e em (ou seja, em ou espaço vetorial tridimensional). - A operação
é o produto vetorial (cross product) e é o produto escalar (dot product).
O que se pede: afirmar se a igualdade vale para quaisquer
e
e justificar (provar) ou dar um contraexemplo.
Passo 2
Explicando a ideia intuitiva e a definição útil.
- Produto vetorial: para dois vetores
e em , o vetor é um vetor perpendicular a ambos e . “Perpendicular” significa que o produto escalar entre e é zero, e o mesmo para . - Produto escalar:
exatamente quando é ortogonal (perpendicular) a .
Portanto, se for verdade que
é perpendicular a
, então
. Precisamos mostrar isso rigorosamente.
Passo 3
Demonstração usando o produto misto (determinante/triple product).
Existe uma identidade conhecida chamada produto escalar do produto vetorial (produto misto):
onde o lado direito é o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são
. Esse valor é o volume algébrico do paralelepípedo formado por
.
Se em particular duas dessas colunas são iguais, o determinante é zero. Aplicando isso com
,
,
, obtém-se
porque as duas primeiras colunas são iguais. Assim
.
Passo 4
Demonstração com cálculos coordenados (mostra “passo a passo” algébrico, útil para prova sem apelidos).
Escreva
e
. Então
Agora faça o produto escalar com
:
Expanda e reorganize os termos:
Cada par cancela, mostrando explicitamente que o resultado é zero.
Passo 5
Interpretação geométrica curta e dica para prova/consulta rápida.
Geometricamente,
é perpendicular ao plano gerado por
e
; portanto é perpendicular a
(salvo casos degenerados com
, onde a igualdade também vale). Em provas rápidas, pode-se citar a identidade do produto misto ou a propriedade “cross product é ortogonal aos fatores” para justificar em uma linha.
Dica para prova: lembrar que
é um determinante e que determinante com colunas repetidas é zero — isso resolve muitas questões de ortogonalidade envolvendo produto vetorial.
Resposta
Verdadeira.