Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3},(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \times \mathbf{v}=\mathbf{u} \times \mathbf{v}.

Passo 1

O enunciado afirma que, para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3}, vale
(\mathbf{u}+\mathbf{v})\times\mathbf{v}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}.
O que se pede é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. As informações dadas são apenas que \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores em V_{3} (espaço vetorial tridimensional) e que o produto considerado é o produto vetorial usual.

Passo 2

Usar uma propriedade básica do produto vetorial: o produto vetorial é distributivo em relação à soma no primeiro fator. Em palavras, para quaisquer vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} vale
(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{c}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}.
Explicando isso de forma didática: essa propriedade faz parte da linearidade (bilinearidade) do produto vetorial — ele é linear em cada argumento separado. Linearidade em primeira coordenada significa que somar dois vetores antes de calcular o produto vetorial é o mesmo que calcular os produtos vetoriais separadamente e somá-los depois.

Passo 3

Aplicando a distributividade com \mathbf{a}=\mathbf{u}, \mathbf{b}=\mathbf{v} e \mathbf{c}=\mathbf{v}, obtemos
(\mathbf{u}+\mathbf{v})\times\mathbf{v}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{v}\times\mathbf{v}.
Essa é uma identidade direta pela propriedade mencionada; não fizemos conta ainda, apenas usamos a regra de distribuição.

Passo 4

Mostrar que \mathbf{v}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}. Para isso use outra propriedade do produto vetorial: é anticomutativo, isto é, para quaisquer \mathbf{a},\mathbf{b} vale
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a}.
Tomando \mathbf{a}=\mathbf{b}=\mathbf{v} obtemos
\mathbf{v}\times\mathbf{v}=-\mathbf{v}\times\mathbf{v}.
Somando \mathbf{v}\times\mathbf{v} aos dois lados chega-se a
2(\mathbf{v}\times\mathbf{v})=\mathbf{0},
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\mathbf{v}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}.
(Outra forma de ver isso, se preferir cálculo, é escrever \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) e usar a fórmula do produto vetorial; cada componente do produto \mathbf{v}\times\mathbf{v} sai zero.)

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3 e substituindo \mathbf{v}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}, obtemos
(\mathbf{u}+\mathbf{v})\times\mathbf{v}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{0}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}.
Portanto a igualdade é verdadeira para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v} em V_{3}. Observação final: essa conclusão depende das propriedades do produto vetorial em dimensão tridimensional (distributividade e anticomutatividade); se alguém estivesse usando uma operação diferente que não satisfaz essas propriedades, a conclusão poderia falhar — mas com o produto vetorial habitual em V_{3} a afirmação é válida.

Resposta

Verdadeiro

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