Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores
e
em
.
Para quaisquer vetores
Passo 1
O enunciado afirma que, para quaisquer vetores
e
em
, vale
O que se pede é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. As informações dadas são apenas que
e
são vetores em
(espaço vetorial tridimensional) e que o produto considerado é o produto vetorial usual.
Passo 2
Usar uma propriedade básica do produto vetorial: o produto vetorial é distributivo em relação à soma no primeiro fator. Em palavras, para quaisquer vetores
vale
Explicando isso de forma didática: essa propriedade faz parte da linearidade (bilinearidade) do produto vetorial — ele é linear em cada argumento separado. Linearidade em primeira coordenada significa que somar dois vetores antes de calcular o produto vetorial é o mesmo que calcular os produtos vetoriais separadamente e somá-los depois.
Passo 3
Aplicando a distributividade com
,
e
, obtemos
Essa é uma identidade direta pela propriedade mencionada; não fizemos conta ainda, apenas usamos a regra de distribuição.
Passo 4
Mostrar que
. Para isso use outra propriedade do produto vetorial: é anticomutativo, isto é, para quaisquer
vale
Tomando
obtemos
Somando
aos dois lados chega-se a
logo
(Outra forma de ver isso, se preferir cálculo, é escrever
e usar a fórmula do produto vetorial; cada componente do produto
sai zero.)
Passo 5
Voltando à expressão do Passo 3 e substituindo
, obtemos
Portanto a igualdade é verdadeira para quaisquer vetores
em
. Observação final: essa conclusão depende das propriedades do produto vetorial em dimensão tridimensional (distributividade e anticomutatividade); se alguém estivesse usando uma operação diferente que não satisfaz essas propriedades, a conclusão poderia falhar — mas com o produto vetorial habitual em
a afirmação é válida.
Resposta
Verdadeiro