Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores
ev em
e qualquer escalar
,
.
Para quaisquer vetores
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Dois vetores quaisquer
e em (ou seja, em ) e um escalar . - A afirmação a avaliar é:
.
O que se pede:
- Determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
- Se for verdadeira, explicar por que; se for falsa, justificar ou fornecer um contraexemplo.
Passo 2
Vou lembrar a definição prática do produto vetorial em coordenadas (isso é útil para provar igualdade componente a componente). Seja
onde
e
são as componentes reais dos vetores. O produto vetorial
tem componentes dadas por
Aqui cada expressão como
significa multiplicação usual de números reais.
Passo 3
Calculo o lado esquerdo
. Multiplicar um vetor por um escalar
significa multiplicar cada componente por
. Assim,
Aplicando a multiplicação escalar em cada componente:
Passo 4
Agora calculo o lado direito
. Primeiro escrevo o vetor
:
Faço o produto vetorial com
usando a fórmula das componentes:
Factorizando
em cada componente (distributividade da multiplicação real):
Passo 5
Comparando as expressões obtidas para os dois lados vemos que são idênticas componente a componente:
Portanto a igualdade vale para quaisquer
e qualquer escalar
.
Passo 6
Interpretação intuitiva (ajuda para prova em prova oral ou rápida): o produto vetorial é linear em cada um dos seus argumentos (diz-se que é bilinear). Linearidade em
quer dizer que escalar
por
escala o produto vetorial inteiro por
. Geometricamente, o módulo de
é a área do paralelogramo gerado por
e
; se
é multiplicado por
, essa área é multiplicada por
e o vetor resultado é multiplicado por
(o sinal negativo quando
é natural porque inverte a orientação).
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome
,
e
.
Ambos dão o mesmo resultado, confirmando a igualdade.
Resposta
Verdadeira.