Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores \mathbf{u} ev em V_{3} e qualquer escalar k, k(\mathbf{u} \times \mathbf{v})=(k \mathbf{u}) \times \mathbf{v}.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Dois vetores quaisquer \mathbf{u} e \mathbf{v} em \,V_{3} (ou seja, em \mathbb{R}^{3}) e um escalar k.
  • A afirmação a avaliar é: k(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(k\mathbf{u})\times\mathbf{v}.
O que se pede:
  • Determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
  • Se for verdadeira, explicar por que; se for falsa, justificar ou fornecer um contraexemplo.

Passo 2

Vou lembrar a definição prática do produto vetorial em coordenadas (isso é útil para provar igualdade componente a componente). Seja
\mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}),\qquad \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}),
onde u_{i} e v_{i} são as componentes reais dos vetores. O produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} tem componentes dadas por
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\; u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\; u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\big).
Aqui cada expressão como u_{2}v_{3} significa multiplicação usual de números reais.

Passo 3

Calculo o lado esquerdo k(\mathbf{u}\times\mathbf{v}). Multiplicar um vetor por um escalar k significa multiplicar cada componente por k. Assim,
k(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=k\big(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\; u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\; u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\big).
Aplicando a multiplicação escalar em cada componente:
k(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=\big(k(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}),\; k(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}),\; k(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\big).

Passo 4

Agora calculo o lado direito (k\mathbf{u})\times\mathbf{v}. Primeiro escrevo o vetor k\mathbf{u}:
k\mathbf{u}=(k u_{1},k u_{2},k u_{3}).
Faço o produto vetorial com \mathbf{v} usando a fórmula das componentes:
(k\mathbf{u})\times\mathbf{v}=\big((k u_{2})v_{3}-(k u_{3})v_{2},\; (k u_{3})v_{1}-(k u_{1})v_{3},\; (k u_{1})v_{2}-(k u_{2})v_{1}\big).
Factorizando k em cada componente (distributividade da multiplicação real):
(k\mathbf{u})\times\mathbf{v}=\big(k(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}),\; k(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}),\; k(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\big).

Passo 5

Comparando as expressões obtidas para os dois lados vemos que são idênticas componente a componente:
k(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(k\mathbf{u})\times\mathbf{v}.
Portanto a igualdade vale para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in V_{3} e qualquer escalar k.

Passo 6

Interpretação intuitiva (ajuda para prova em prova oral ou rápida): o produto vetorial é linear em cada um dos seus argumentos (diz-se que é bilinear). Linearidade em \mathbf{u} quer dizer que escalar \mathbf{u} por k escala o produto vetorial inteiro por k. Geometricamente, o módulo de \mathbf{u}\times\mathbf{v} é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}; se \mathbf{u} é multiplicado por k, essa área é multiplicada por |k| e o vetor resultado é multiplicado por k (o sinal negativo quando k<0 é natural porque inverte a orientação).

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome \mathbf{u}=(1,0,0), \mathbf{v}=(0,1,0) e k=3.
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(0,0,1),\quad k(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(0,0,3).
k\mathbf{u}=(3,0,0),\quad (k\mathbf{u})\times\mathbf{v}=(0,0,3).
Ambos dão o mesmo resultado, confirmando a igualdade.

Resposta

Verdadeira.

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