Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se \mathbf{u} \times \mathbf{v}=0, então \mathbf{u}=0 ou \mathbf{v}=0.
Passo 1
O enunciado dá que \mathbf{u}\times\mathbf{v}=0 (o produto vetorial de \mathbf{u} e \mathbf{v} é o vetor nulo) e pede para decidir se disso segue necessariamente que \mathbf{u}=0 ou \mathbf{v}=0.
Informações relevantes do enunciado:
A informação dada: \mathbf{u}\times\mathbf{v}=0.
O que se pergunta: se a partir disso necessariamente \mathbf{u}=0 ou \mathbf{v}=0.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade fundamental do produto vetorial que vamos usar: o módulo do produto vetorial satisfaz
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}, com 0\le\theta\le\pi. Aqui:
\|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\| são os comprimentos (normas) de \mathbf{u} e \mathbf{v};
\sin\theta é o seno do ângulo entre os vetores.
Explicando essa fórmula de forma simples: o produto vetorial tem módulo igual à área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}. Se os vetores são paralelos, esse paralelogramo tem área zero (porque fica “achatado”), então o produto vetorial tem módulo zero.
Passo 3
Se \mathbf{u}\times\mathbf{v}=0, então \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=0. Pela fórmula do passo anterior,
0=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\,|\sin\theta|.
Um produto de três fatores é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Logo, uma (ou mais) das seguintes alternativas ocorre:
\|\mathbf{u}\|=0, isto é, \mathbf{u}=0;
\|\mathbf{v}\|=0, isto é, \mathbf{v}=0;
|\sin\theta|=0, isto é, \sin\theta=0, o que ocorre quando \theta=0 ou \theta=\pi; nesses casos \mathbf{u} e \mathbf{v} são paralelos (mesma direção) ou antiparalelos (direções opostas).
Portanto, \mathbf{u}\times\mathbf{v}=0 implica que ou um dos vetores é nulo, ou os dois são vetores não nulos colineares (paralelos/antiparalelos).
Passo 4
Com base no passo anterior, a afirmação do enunciado ("se \mathbf{u}\times\mathbf{v}=0, então \mathbf{u}=0 ou \mathbf{v}=0") exige que a única possibilidade para \mathbf{u}\times\mathbf{v}=0 seja que um dos vetores seja nulo. Mas vimos que existe outra possibilidade: vetores não nulos e paralelos também dão produto vetorial nulo. Logo a afirmação é falsa. Para tornar isso claro, vamos dar um contraexemplo numérico simples.
Aqui \mathbf{u}\times\mathbf{v}=0 mas nem \mathbf{u} nem \mathbf{v} são o vetor nulo. Esse exemplo mostra que a afirmação do enunciado é falsa.
Passo 6
Resumo interpretativo e dica para prova: a condição correta e completamente equivalente é
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=0\quad\Longleftrightarrow\quad \text{\(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) são linearmente dependentes (colineares),}ã
ou seja, ou \mathbf{u}=0, ou \mathbf{v}=0, ou \mathbf{v}=c\mathbf{u} para algum escalar \,c\in\mathbb{R}. Na hora da prova, ao ver \mathbf{u}\times\mathbf{v}=0, cheque: se as normas são não nulas, então conclui-se que o ângulo entre eles é 0 ou \pi, ou seja, são paralelos — não é obrigatório que um seja o vetor nulo.