Determine as equações paramétricas da reta
Que passa pelos pontos (1,0,-1) e é paralela à reta \frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{2} y=z+2

Passo 1

O que o exercício pede e o que foi dado.
  • Pede: determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (1,0,-1) e é paralela à reta dada por \frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{2}y=z+2.
  • Informações dadas:
    • Um ponto pelo qual a reta procurada passa: P_0=(1,0,-1).
    • Uma reta paralela cuja equação está na forma mista apresentada acima.

Passo 2

Como interpretar a igualdade mista e extrair um parâmetro.
Quando se tem uma igualdade do tipo
\frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{2}y=z+2,
isso significa que todas essas expressões são iguais a um mesmo número — vamos chamar esse número de t. Ou seja, podemos escrever
\frac{1}{3}(x-4)=t,\qquad \frac{1}{2}y=t,\qquad z+2=t.
Agora resolvemos cada uma para x,y,z em função de t.

Passo 3

Resolver cada igualdade para obter uma forma paramétrica da reta dada (e daí a direção).
  • Da primeira: \dfrac{1}{3}(x-4)=t implica x-4=3t, logo x=4+3t.
  • Da segunda: \dfrac{1}{2}y=t implica y=2t.
  • Da terceira: z+2=t implica z=t-2.
Portanto uma parametrização da reta dada é
(x,y,z)=(4+3t,\;2t,\;t-2).

Passo 4

Identificar o vetor diretor da reta dada e o que isso implica para a reta paralela pedida.
Na parametrização (x,y,z)=(4+3t,2t,t-2) os coeficientes de t formam o vetor diretor da reta:
\mathbf{v}=(3,2,1).
Se duas retas são paralelas, elas têm o mesmo vetor diretor (ou um múltiplo desse vetor). Logo a reta que queremos terá vetor diretor \mathbf{v}=(3,2,1).

Passo 5

Forma geral de uma reta em \mathbb{R}^3 a partir de um ponto e de um vetor diretor.
Dados um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e um vetor diretor \mathbf{v}=(a,b,c), uma forma paramétrica da reta é
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+s(a,b,c),
ou, em coordenadas,
x=x_0+as,\qquad y=y_0+bs,\qquad z=z_0+cs,
com s\in\mathbb{R}. Aqui P_0=(1,0,-1) e \mathbf{v}=(3,2,1). A escrita explícita das equações paramétricas está na seção de resposta abaixo.

Resposta

x=1+3t
y=2t
z=-1+t,\\ t\in\mathbb{R}

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