Determine a equação do plano que satisfaz as condições
Passa por
e é paralelo a
Passa por
Passo 1
O enunciado dá claramente duas informações e faz um pedido:
- Informação 1: o plano deve passar pelo ponto
. - Informação 2: o plano deve ser paralelo ao plano dado pela equação
. - Pedido: determinar a equação do plano que satisfaz essas duas condições.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): a equação geral de um plano no espaço é
onde
são números que definem a direção do vetor normal ao plano e
é uma constante que posiciona o plano no espaço. O vetor normal ao plano é
Esse vetor é perpendicular a todo vetor contido no plano. Dois planos são paralelos precisamente quando seus vetores normais são paralelos, ou seja, quando os vetores normais são múltiplos um do outro. Em particular, se dois planos têm exatamente os mesmos coeficientes
(ou coeficientes proporcionais), então eles são paralelos.
Passo 3
Aplicando isso ao plano dado: da equação
os coeficientes são
,
e
. Portanto o vetor normal desse plano é
Como o plano que procuramos é paralelo ao dado, seu vetor normal deve ser paralelo a
. Para simplificar, podemos escolher exatamente o mesmo vetor normal
para o novo plano.
Passo 4
Escrevendo a equação geral do plano procurado com esse vetor normal, temos uma incógnita restante (a constante do lado direito). Então o plano tem forma
onde
é um número real que vamos determinar exigindo que o plano passe por
.
Passo 5
Substituir as coordenadas do ponto
na equação para encontrar
. Calcula-se:
Logo
.
Passo 6
Portanto a equação do plano que passa por
e é paralelo a
é
Observação rápida: esse plano é paralelo ao dado porque têm o mesmo vetor normal
; a diferença no termo constante faz com que sejam planos distintos (não coincidentes).