Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira explique por quê. Se for falsa dê um contraexemplo.
\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d x d y=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar
\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\,dx\,dy
e comparar com \pi/4. O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares para integrais em regiões radiais, aproveitando a simetria do integrando.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas polares restringidas ao primeiro quadrante:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com r\in[0,\infty), \theta\in[0,\pi/2] e
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
O integrando fica
\frac{1}{(1+r^{2})^{2}},
pois x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Passo 3

Escrevemos a integral em polares:
\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\infty}\frac{r}{(1+r^{2})^{2}}\,dr\,d\theta.
Agora calculamos a integral em r:
\int_{0}^{\infty}\frac{r}{(1+r^{2})^{2}}\,dr.
Fazendo u=1+r^{2}, du=2r\,dr, obtemos
\int_{u=1}^{\infty}\frac{1}{2}\,u^{-2}\,du =\frac{1}{2}\Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{1}^{\infty} =\frac{1}{2}\,.

Passo 4

Sobramos a parte angular:
\int_{0}^{\pi/2}\!d\theta =\frac{\pi}{2}.
Multiplicando pelos resultados radial e angular:
\frac{\pi}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\pi}{4}.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois
\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\,dx\,dy =\frac{\pi}{4}.

Exercícios relacionados