Calcul os limets.
\lim _{t \rightarrow 0}\left(e^{-2 t} \vec{i}+\frac{t^{2}}{\operatorname{sen}^{2} t}, \cos 2 t\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{t\to0}\mathbf{r}(t),
onde presumimos que
\mathbf{r}(t)=e^{-2t}\,\mathbf{i}+\frac{t^2}{\sin^2 t}\,\mathbf{j}+\cos(2t)\,\mathbf{k}.
O conteúdo usado será o cálculo de limites de funções elementares e a propriedade de que o limite de uma função vetorial é o vetor formado pelos limites de cada componente.

Passo 2

Pela definição de limite de função vetorial, temos
\lim_{t\to0}\mathbf{r}(t) = \Bigl(\lim_{t\to0}e^{-2t}\Bigr)\mathbf{i} + \Bigl(\lim_{t\to0}\frac{t^2}{\sin^2 t}\Bigr)\mathbf{j} + \Bigl(\lim_{t\to0}\cos(2t)\Bigr)\mathbf{k},
desde que cada limite escalar exista.

Passo 3

Calculamos cada limite escalar:
  1. \displaystyle\lim_{t\to0}e^{-2t}=e^0=1 pela continuidade da exponencial.
  2. \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{t^2}{\sin^2 t}=\Bigl(\lim_{t\to0}\frac{t}{\sin t}\Bigr)^2=1^2=1 usando o limite clássico \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
  3. \displaystyle\lim_{t\to0}\cos(2t)=\cos(0)=1 pela continuidade do cosseno.

Passo 4

Juntando os resultados das três componentes, obtemos
\lim_{t\to0}\mathbf{r}(t) =1\:\mathbf{i}+1\:\mathbf{j}+1\:\mathbf{k} =\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}

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