Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira explique por quê. Se for falsa dê um contraexemplo.
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} e^{x^{2}+y^{2}} \operatorname{sen} y d y d x=0

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1}e^{x^{2}+y^{2}}\operatorname{sen} y\,dy\,dx
e decide se ela é igual a zero. O conteúdo aqui é a separação de variáveis numa integral dupla e análise de sinal do integrando.

Passo 2

Como e^{x^{2}+y^{2}}=e^{x^{2}}\,e^{y^{2}}, podemos usar Fubini e separar em
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1}e^{x^{2}}\,e^{y^{2}}\operatorname{sen} y\,dy\,dx =\Bigl(\int_{-1}^{1}e^{x^{2}}\,dx\Bigr)\,\Bigl(\int_{0}^{1}e^{y^{2}}\operatorname{sen} y\,dy\Bigr).

Passo 3

Em \int_{-1}^{1}e^{x^{2}}\,dx, a função e^{x^{2}}>0 em todo [-1,1], logo essa integral é estritamente positiva.
Em \int_{0}^{1}e^{y^{2}}\operatorname{sen} y\,dy, note que para y\in(0,1) temos e^{y^{2}}>0 e \operatorname{sen} y>0, então o integrando é sempre positivo e a integral é também estritamente positiva.

Resposta

A afirmação é falsa.
Contraexemplo:
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1}e^{x^{2}+y^{2}}\operatorname{sen} y\,dy\,dx =\Bigl(\int_{-1}^{1}e^{x^{2}}\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}e^{y^{2}}\operatorname{sen} y\,dy\Bigr)>0\neq0.

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