Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique por quê.
Se for falsa, explique por quê ou dê um exemplo que refute a afirmação.
Se \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, então \sum a_{n} é convergente.

Passo 1

O enunciado afirma que, se
\lim_{n\to\infty}a_n = 0,
então a série
\sum_{n=1}^\infty a_n
é convergente.
O conteúdo aqui é “séries numéricas” e queremos verificar se a condição \lim_{n\to\infty}a_n=0 é suficiente para garantir a convergência de \sum a_n.

Passo 2

Uma parte importante da teoria de séries diz que
se \sum_{n=1}^\infty a_n converge, então necessariamente
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Essa é uma condição necessária.
Porém, condição necessária não implica condição suficiente: mesmo que \lim a_n=0, a soma \sum a_n pode divergir.

Passo 3

Para refutar a afirmação, basta dar um contraexemplo clássico. Defina
a_n = \frac{1}{n}.
Então claramente
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0.

Passo 4

Mostramos que a série harmônica
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}
é divergente. Pelo teste da integral, compare com
\int_{1}^{N}\frac{1}{x}\,dx = \bigl[\ln x\bigr]_{1}^{N} = \ln N \to \infty\quad\text{quando }N\to\infty.
Como a integral diverge e \tfrac1n é decrescente e positiva, a série também diverge. Logo \sum 1/n =\infty.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a_n=1/n, pois \lim_{n\to\infty}1/n=0 mas \sum_{n=1}^\infty1/n diverge (série harmônica).

Exercícios relacionados