Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique por quê.
Se for falsa, explique por quê ou dê um exemplo que refute a afirmação.
Se
, então
é convergente.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, se
então a série
é convergente.
O conteúdo aqui é “séries numéricas” e queremos verificar se a condição é suficiente para garantir a convergência de
.
O conteúdo aqui é “séries numéricas” e queremos verificar se a condição
Passo 2
Uma parte importante da teoria de séries diz que
se converge, então necessariamente
se
Essa é uma condição necessária.
Porém, condição necessária não implica condição suficiente: mesmo que , a soma
pode divergir.
Porém, condição necessária não implica condição suficiente: mesmo que
Passo 3
Para refutar a afirmação, basta dar um contraexemplo clássico. Defina
Então claramente
Passo 4
Mostramos que a série harmônica
é divergente. Pelo teste da integral, compare com
Como a integral diverge e
é decrescente e positiva, a série também diverge. Logo
.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é
, pois
mas
diverge (série harmônica).