Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique por quê.
Se for falsa, explique por quê ou dê um exemplo que refute a afirmação.
0.99999 \ldots=1

Passo 1

O enunciado pergunta se a dízima decimal infinita \,0.99999\ldots é igual a 1. O conteúdo envolvido é a representação decimal infinita e soma de séries geométricas, usando o conceito de limite de uma sequência.

Passo 2

Interpretamos
0.99999\ldots
como a soma infinita da série cujo k-ésimo termo é \tfrac{9}{10^k}. Ou seja, definimos a soma parcial
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{9}{10^k}
e vamos estudar o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n.

Passo 3

Como \tfrac{9}{10^k} = 9\cdot\bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)^k, a série é geométrica de razão r=\tfrac{1}{10} e termo inicial a=\tfrac{9}{10}. A soma parcial de uma série geométrica satisfaz
S_n = a\,\frac{1-r^n}{1-r}
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S_n = \frac{\tfrac{9}{10}\bigl(1-(\tfrac{1}{10})^n\bigr)}{1-\tfrac{1}{10}} =\frac{\tfrac{9}{10}\bigl(1-10^{-n}\bigr)}{\tfrac{9}{10}} =1 - 10^{-n}.

Passo 4

Tomando o limite quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\bigl(1-10^{-n}\bigr) =1-0 =1.
Portanto a soma infinita representa exatamente 1.

Passo 5

Concluímos que \,0.99999\ldots é de fato igual a 1, pois sua definição como limite de somas parciais leva a esse valor.

Resposta

A afirmação é verdadeira: 0.99999\ldots = 1.

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