Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A e B são matrizes n x n tais que A B=I_{n}, então B A=I_{n}.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas n\times n e satisfazem
A\,B = I_{n}.
O conteúdo aqui é teoria de matriz inversa: queremos saber se essa condição (produto igual à identidade à esquerda) implica que B\,A também é a identidade.

Passo 2

Usemos o determinante para mostrar que A e B são inversíveis. Como
\det(A\,B)=\det(I_{n})=1,
temos
\det(A)\,\det(B)=1.
Logo \det(A)\neq0 e \det(B)\neq0, o que implica que A e B são inversíveis.

Passo 3

Sendo A inversível, existe uma única matriz A^{-1} tal que
A^{-1}A=I_{n}\quad\text{e}\quad A\,A^{-1}=I_{n}.
Como já temos A\,B=I_{n}, a unicidade da inversa garante que
B = A^{-1}.

Passo 4

Portanto, multiplicando B=A^{-1} por A à direita, obtemos
B\,A = A^{-1}A = I_{n}.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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