Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior é uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, dado U triangular superior e L triangular inferior, a soma
M = U + L
é sempre uma matriz diagonal. O conteúdo envolvido é a definição de matrizes triangulares e a forma como a soma atua em cada entrada.

Passo 2

Definimos uma matriz U = (u_{ij}) triangular superior como aquela que satisfaz
u_{ij} = 0 \quad\text{sempre que } i > j,
ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.

Passo 3

Definimos uma matriz L = (l_{ij}) triangular inferior como aquela que satisfaz
l_{ij} = 0 \quad\text{sempre que } i < j,
ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero.

Passo 4

Na soma M = U + L, cada entrada é
m_{ij} = u_{ij} + l_{ij}.
Para i<j (acima da diagonal), temos l_{ij}=0 mas u_{ij} pode ser não nulo, logo
m_{ij} = u_{ij} \neq 0
em geral. De modo análogo, para i>j (abaixo da diagonal) temos u_{ij}=0 mas l_{ij} pode ser não nulo, dando
m_{ij}=l_{ij}\neq0
em geral. Assim, M não é forçosamente diagonal.

Passo 5

Contraexemplo em dimensão 2\times2:
U = \begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad L = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Então
U + L = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
que claramente não é diagonal.]

Resposta

A afirmação é falsa.

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