Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Dada qualquer matriz A , vale
.
Dada qualquer matriz A , vale
Passo 1
O enunciado pede para avaliarmos a verdade da afirmação “para qualquer matriz
, vale
”. O conteúdo envolvido é a operação de transposição de matrizes e sua propriedade de composição. Vamos usar a definição de transposta e mostrar que transpor duas vezes reconduz à matriz original.
Passo 2
Seja
uma matriz de ordem
. Por definição, a transposta
é uma matriz de ordem
cujos elementos são
para todo
e
.
Passo 3
Agora aplicamos a transposição novamente em
. A matriz
tem ordem
e seus elementos são
Mas, pela definição anterior,
.
Passo 4
Portanto, para todo
e
,
Isso mostra que
e
têm exatamente os mesmos elementos na mesma posição, ou seja,
Resposta
A afirmação é verdadeira.