Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Dada qualquer matriz A , vale \left(A^{T}\right)^{T}=A.

Passo 1

O enunciado pede para avaliarmos a verdade da afirmação “para qualquer matriz A, vale \left(A^{T}\right)^{T}=A”. O conteúdo envolvido é a operação de transposição de matrizes e sua propriedade de composição. Vamos usar a definição de transposta e mostrar que transpor duas vezes reconduz à matriz original.

Passo 2

Seja A uma matriz de ordem m\times n. Por definição, a transposta A^{T} é uma matriz de ordem n\times m cujos elementos são
(A^{T})_{ij} = A_{ji}
para todo 1\le i\le n e 1\le j\le m.

Passo 3

Agora aplicamos a transposição novamente em A^{T}. A matriz \bigl(A^{T}\bigr)^{T} tem ordem (m\times n) e seus elementos são
\bigl((A^{T})^{T}\bigr)_{ij} = (A^{T})_{ji}.
Mas, pela definição anterior, (A^{T})_{ji} = A_{ij}.

Passo 4

Portanto, para todo 1\le i\le m e 1\le j\le n,
\bigl((A^{T})^{T}\bigr)_{ij} = A_{ij}.
Isso mostra que \bigl(A^{T}\bigr)^{T} e A têm exatamente os mesmos elementos na mesma posição, ou seja,
\bigl(A^{T}\bigr)^{T} = A.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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