Encontre a inversa se existir
\left[\begin{array}{ccc}3 & 4 & -1 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ 2 & 5 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1\\\\ 1 & 0 & 3\\\\ 2 & 5 & -4 \end{pmatrix}
O conteúdo aqui é o cálculo de inversa de matriz 3\times3 usando a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores de A. Para isso, precisamos (1) calcular \det(A) e (2) montar a matriz de cofatores.

Passo 2

Calculemos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A)=3\det\begin{pmatrix}0&3\\\ 5&-4\end{pmatrix} -4\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 2&-4\end{pmatrix} +(-1)\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&5\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}0&3\\\ 5&-4\end{pmatrix} =0\cdot(-4)-3\cdot5=-15,
\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 2&-4\end{pmatrix} =1\cdot(-4)-3\cdot2=-4-6=-10,
\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&5\end{pmatrix} =1\cdot5-0\cdot2=5.
Substituindo,
\det(A)=3(-15)-4(-10)+(-1)\cdot5=-45+40-5=-10.

Passo 3

Como \det(A)=-10\neq0, a matriz A é invertível e podemos prosseguir para calcular \operatorname{adj}(A).

Passo 4

Montemos a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
e M_{ij} é o menor obtido eliminando a linha i e a coluna j. Calculando todos os cofatores, obtemos
C = \begin{pmatrix} -15 & 10 & 5\\\\ 11 & -10 & -7\\\\ 12 & -10 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 5

A adjunta de A é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) =C^{T} =\begin{pmatrix} -15 & 11 & 12\\\\ 10 & -10& -10\\\\ 5 & -7 & -4 \end{pmatrix}.
Logo,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) =\frac{1}{-10} \begin{pmatrix} -15 & 11 & 12\\\\ 10 & -10& -10\\\\ 5 & -7 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 6

Dividindo cada entrada por -10 e simplificando frações, chega-se a
A^{-1} =\begin{pmatrix} \frac{15}{10} & -\frac{11}{10} & -\frac{12}{10}\\\\ -\frac{10}{10}& \frac{10}{10} & \frac{10}{10}\\\\ -\frac{5}{10} & \frac{7}{10} & \frac{4}{10} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\tfrac{11}{10} & -\tfrac{6}{5}\\[6pt] -1 & 1 & 1 \\[6pt] -\tfrac{1}{2}& \tfrac{7}{10} & \tfrac{2}{5} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} =\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\tfrac{11}{10} & -\tfrac{6}{5}\\[6pt] -1 & 1 & 1 \\[6pt] -\tfrac{1}{2}& \tfrac{7}{10} & \tfrac{2}{5} \end{pmatrix}.]

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