Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas uma matriz diagonal D e uma matriz triangular inferior L de mesma ordem, a soma D+L é sempre triangular inferior. Vamos usar a definição de matriz triangular inferior: uma matriz A=(a_{ij}) é triangular inferior se, para todo par de índices com i<j, vale a_{ij}=0. Também usamos que uma matriz diagonal satisfaz D_{ij}=0 sempre que i\neq j.

Passo 2

Seja S = D + L. Para verificar que S é triangular inferior, tomamos um elemento acima da diagonal, i.e.\ com i<j. Então
S_{ij} \;=\; D_{ij} + L_{ij}.
Como D é diagonal, D_{ij}=0 para i\neq j. E como L é triangular inferior, L_{ij}=0 para i<j. Logo,
S_{ij} = 0 + 0 = 0
para todo i<j. Isso mostra que todos os elementos acima da diagonal de S são zero, ou seja, S é triangular inferior.

Resposta

Verdadeira.

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