Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
A soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas uma matriz diagonal
e uma matriz triangular inferior
de mesma ordem, a soma
é sempre triangular inferior. Vamos usar a definição de matriz triangular inferior: uma matriz
é triangular inferior se, para todo par de índices com
, vale
. Também usamos que uma matriz diagonal satisfaz
sempre que
.
Passo 2
Seja
. Para verificar que
é triangular inferior, tomamos um elemento acima da diagonal, i.e.\ com
. Então
Como
é diagonal,
para
. E como
é triangular inferior,
para
. Logo,
para todo
. Isso mostra que todos os elementos acima da diagonal de
são zero, ou seja,
é triangular inferior.
Resposta
Verdadeira.