Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
A soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior é uma matriz diagonal.
A soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior é uma matriz diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, dado
triangular superior e
triangular inferior, a soma
é sempre uma matriz diagonal. O conteúdo envolvido é a definição de matrizes triangulares e a forma como a soma atua em cada entrada.
Passo 2
Definimos uma matriz
triangular superior como aquela que satisfaz
ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
Passo 3
Definimos uma matriz
triangular inferior como aquela que satisfaz
ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero.
Passo 4
Na soma
, cada entrada é
Para
(acima da diagonal), temos
mas
pode ser não nulo, logo
em geral. De modo análogo, para
(abaixo da diagonal) temos
mas
pode ser não nulo, dando
em geral. Assim,
não é forçosamente diagonal.
Passo 5
Contraexemplo em dimensão
:
Então
que claramente não é diagonal.]
Resposta
A afirmação é falsa.