Determine se a afirmação é verdadeira ( V ) ou falsa (F). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) Se a função
tem inversa e
, então
.
( ) Se a função
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique. As informações dadas são:
- A função
tem inversa (ou seja, existe que é função).
-
.
A afirmação a testar é: “Setem inversa e , então .”
Passo 2
Vou lembrar o que significa “ter inversa” de forma clara e prática (isso é importante para a prova).
- Dizemos que uma função
tem inversa quando existe uma função tal que, para todo do domínio de ,
e, para todo
- Para que exista
como função, precisa ser bijetora (injectiva e sobrejetiva na relação entre domínio e imagem considerada). Em linguagem de prova rápida: cada valor da imagem vem de exatamente um valor do domínio.
Passo 3
Agora aplico a propriedade fundamental da inversa ao ponto concreto dado no enunciado.
- Como
tem inversa, vale a identidade para todo do domínio.
- Tomando
, obtenho
- Como o enunciado afirma que
, substituo por na expressão anterior:
- Essa é exatamente a conclusão da afirmação; portanto, sob a hipótese de que
tem inversa, a igualdade segue diretamente da definição da função inversa.
Passo 4
Dou um exemplo concreto e simples para fixar a ideia (útil para a prova: quando puder, exponha um exemplo para mostrar que você entendeu).
- Seja
(função bijetora de em ). Temos .
- A inversa é
. Então , confirmando a propriedade no exemplo.
Passo 5
Vou também comentar uma situação que costuma confundir: se
não tiver inversa, a conclusão pode falhar ou nem fazer sentido.
- Por exemplo, a função
(definida em para ) satisfaz , mas não é invertível em porque também. Assim, não existe uma função definida em toda a imagem que associe unicamente a ; a “inversa” seria multivalorada . Esse exemplo mostra por que a hipótese “tem inversa” é essencial.
- No nosso problema, a hipótese já garante invertibilidade, então não precisamos nos preocupar com esse tipo de contraexemplo.
Passo 6
Resumo prático para a prova (fórmula que vale decorar): se
é invertível então, para todo
do domínio,
Aplicando com
Resposta
(V)