Determine se a afirmação é verdadeira ( V ) ou falsa (F). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) Se a função f tem inversa e f(2)=3, então f^{-1}(3)=2.

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique. As informações dadas são:
  • A função f tem inversa (ou seja, existe f^{-1} que é função).
  • f(2)=3.

    A afirmação a testar é: “Se f tem inversa e f(2)=3, então f^{-1}(3)=2.”

Passo 2

Vou lembrar o que significa “ter inversa” de forma clara e prática (isso é importante para a prova).
  • Dizemos que uma função f tem inversa quando existe uma função f^{-1} tal que, para todo x do domínio de f,
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x,

e, para todo y no contradomínio (mais precisamente, na imagem) de f,
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y.
  • Para que exista f^{-1} como função, f precisa ser bijetora (injectiva e sobrejetiva na relação entre domínio e imagem considerada). Em linguagem de prova rápida: cada valor da imagem vem de exatamente um valor do domínio.

Passo 3

Agora aplico a propriedade fundamental da inversa ao ponto concreto dado no enunciado.
  • Como f tem inversa, vale a identidade f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x para todo x do domínio.
  • Tomando x=2, obtenho
f^{-1}\bigl(f(2)\bigr)=2.
  • Como o enunciado afirma que f(2)=3, substituo f(2) por 3 na expressão anterior:
f^{-1}(3)=2.
  • Essa é exatamente a conclusão da afirmação; portanto, sob a hipótese de que f tem inversa, a igualdade segue diretamente da definição da função inversa.

Passo 4

Dou um exemplo concreto e simples para fixar a ideia (útil para a prova: quando puder, exponha um exemplo para mostrar que você entendeu).
  • Seja f(x)=x+1 (função bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}). Temos f(2)=3.
  • A inversa é f^{-1}(x)=x-1. Então f^{-1}(3)=3-1=2, confirmando a propriedade no exemplo.

Passo 5

Vou também comentar uma situação que costuma confundir: se f não tiver inversa, a conclusão pode falhar ou nem fazer sentido.
  • Por exemplo, a função g(x)=x^{2} (definida em \mathbb{R} para \mathbb{R}) satisfaz g(2)=4, mas g não é invertível em \mathbb{R} porque g(-2)=4 também. Assim, não existe uma função g^{-1} definida em toda a imagem que associe unicamente 4 a 2; a “inversa” seria multivalorada \{2,-2\}. Esse exemplo mostra por que a hipótese “tem inversa” é essencial.
  • No nosso problema, a hipótese já garante invertibilidade, então não precisamos nos preocupar com esse tipo de contraexemplo.

Passo 6

Resumo prático para a prova (fórmula que vale decorar): se f é invertível então, para todo x do domínio,
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x.

Aplicando com x=2 e usando f(2)=3 f^{-1}(3)=2. Isso resolve a questão.

Resposta

(V)

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