Múltipla escolha Qual é o ponto que todas as funções da forma f(x)=b^{x}(b>0) têm em comum?
(a) (1,1)
(b) (0,1)
(c) (0,0)
(d) (1,0)
(e) (-1,-1)

Passo 1

O enunciado dá a família de funções f(x)=b^{x} com b>0 e pergunta qual ponto, entre as alternativas, é comum a todas essas funções. As alternativas são:
(a) (1,1)
(b) (0,1)
(c) (0,0)
(d) (1,0)
(e) (-1,-1)

Passo 2

Vamos ver o que significa avaliar f num ponto: calcular f(x) para um x específico. Em particular, calcular f(0) nos dá o ponto com abscissa 0. Substituindo x=0 temos f(0)=b^{0}. Precisamos descobrir qual é o valor de b^{0} para qualquer b>0.
Para entender b^{0} usamos a regra dos expoentes que vale para qualquer x,y:
b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}.
Agora escolha y=0. Então
b^{x}\cdot b^{0}=b^{x+0}=b^{x}.
Como b>0, temos b^{x}>0 para todo x, ou seja, b^{x} não é zero e podemos dividir ambos os lados da igualdade por b^{x}. Fazendo isso obtemos
b^{0}=1.
Portanto f(0)=1 para toda base b>0, e o ponto (0,1) pertence ao gráfico de qualquer função f(x)=b^{x}.

Passo 3

Agora vamos eliminar as outras alternativas para ficar seguro:
  • Para (1,1): f(1)=b^{1}=b. Esse valor é igual a 1 apenas quando b=1. Como b pode ser outro número positivo (por exemplo b=2 f(1)=2), (1,1) não é comum a todas as funções.
  • Para (0,0): já vimos que f(0)=1, então nunca é 0. Logo (0,0) está fora.
  • Para (1,0): f(1)=b>0, portanto não pode ser 0.
  • Para (-1,-1): f(-1)=b^{-1}=1/b é sempre positivo (já que b>0), logo jamais é -1.

Passo 4

Concluímos que o único ponto entre as alternativas que ocorre para toda base b>0 é (0,1).

Resposta

(b) (0,1)

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