Determine, algebricamente, o domínio das funções a seguir.
f(x)=\sqrt{x^{4}-81 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x)=\sqrt{x^{4}-81x^{2}},
ou seja, todos os x\in\mathbb{R} tais que o radicando seja maior ou igual a zero. Para funções do tipo \sqrt{\cdot}, basta garantir que o que está dentro da raiz seja \ge0.

Passo 2

Impondo a condição de existência da raiz, escrevemos
x^{4}-81x^{2}\ge0.

Passo 3

Fatoramos o polinômio no lado esquerdo:
x^{4}-81x^{2}=x^{2}\bigl(x^{2}-81\bigr).

Passo 4

Identificamos as raízes desse produto:
x^{2}=0\implies x=0, \quad x^{2}-81=0\implies x=\pm9.

Passo 5

Fazemos a análise de sinal em cada intervalo determinado por -\infty, -9, 0, 9 e +\infty:
  • Para x<-9: x^{2}>0 e x^{2}-81>0, logo o produto é positivo.
  • Para -9<x<0 (excluindo zero): x^{2}>0 mas x^{2}-81<0, produto negativo.
  • Em x=0: x^{2}(x^{2}-81)=0, permitido.
  • Para 0<x<9: de novo x^{2}>0 e x^{2}-81<0, produto negativo.
  • Para x\ge9: x^{2}>0 e x^{2}-81\ge0, produto não negativo.

Passo 6

Concluímos que o radical é definido se, e somente se,
x\in(-\infty,-9]\;\cup\;\{0\}\;\cup\;[9,\infty).

Resposta

O domínio de f é
(-\infty,-9]\;\cup\;\{0\}\;\cup\;[9,\infty).

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