Determine \alpha, \beta e \delta que são solução do sistema: \left\{\begin{array}{c}\operatorname{sen} \alpha-\cos \beta-\tan \delta=1 \\\\ 2 \operatorname{sen} \alpha-2 \cos \beta=2 \\\\ -\operatorname{sen} \alpha+2 \cos \beta+\tan \delta=-1\end{array}\right., onde \alpha, \beta, \delta \in [0,2 \pi]. Passo 1O enunciado dá o sistema trigonométrico \begin{cases} \sin\alpha - \cos\beta - \tan\delta = 1,\\\\ 2\,\sin\alpha - 2\,\cos\beta = 2,\\\\ -\,\sin\alpha + 2\,\cos\beta + \tan\delta = -1, \end{cases} com \alpha,\beta,\delta\in[0,2\pi]. O objetivo é resolver para \alpha,\beta,\delta. Vamos usar álgebra simples e identidades trigonométricas. Passo 2Da segunda equação dividida por 2 obtemos \sin\alpha - \cos\beta = 1. Passo 3Substituindo \sin\alpha - \cos\beta=1 na primeira equação (\sin\alpha - \cos\beta)-\tan\delta = 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \tan\delta = 1 \quad\Longrightarrow\quad \tan\delta = 0. Passo 4Na terceira equação, com \tan\delta=0, temos -\,\sin\alpha + 2\,\cos\beta = -1. Mas de \sin\alpha - \cos\beta=1 segue -\,\sin\alpha + \cos\beta = -1. Logo -\,\sin\alpha + 2\,\cos\beta =(-\sin\alpha + \cos\beta)+\cos\beta =-1 + \cos\beta \stackrel{!}{=}-1 \quad\Longrightarrow\quad \cos\beta = 0. Passo 5Agora temos o sistema reduzido \sin\alpha = 1,\quad \cos\beta = 0,\quad \tan\delta = 0. As soluções em [0,2\pi] são: \sin\alpha=1 dá \alpha = \tfrac{\pi}{2}. \cos\beta=0 dá \beta = \tfrac{\pi}{2} ou \beta = \tfrac{3\pi}{2}. \tan\delta=0 dá \delta = k\pi com k=0,1,2, ou seja \delta = 0,\pi,2\pi. Resposta \alpha = \tfrac{\pi}{2},\ \beta \in \bigl\{\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2}\bigr\},\ \delta \in \{0,\,\pi,\,2\pi\}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolva os seguintes sistemas homogéneos: \left\{\begin{array}{c}3 x+y-z=0 \\\ x+y+z=0 \\\\ 2 x+3 y-z=0\end{array}\right. Resolva os seguintes sistemas homogéneos: \left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & -1 \\\\ 2 & -1 & -1 \\\\ 1 & 4 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right) Mostre que: a) Existe um, e um só, polinómio p(x) de grau 3 tal que p(-1)=0, \quad p(1)=4, \quad p(2)=3 \text { e } p(3)=16 b) O polinómio referido acima é p(x)=2 x^{3}-5 x^{2}+7. Mostre que: a) Existe um, e um só, polinómio p(x) de grau 3 tal que p(-1)=0, \quad p(1)=4, \quad p(2)=3 \text { e } p(3)=16 b) O polinómio referido acima é p(x)=2 x^{3}-5 x^{2}+7.