Determine \alpha, \beta e \delta que são solução do sistema: \left\{\begin{array}{c}\operatorname{sen} \alpha-\cos \beta-\tan \delta=1 \\\\ 2 \operatorname{sen} \alpha-2 \cos \beta=2 \\\\ -\operatorname{sen} \alpha+2 \cos \beta+\tan \delta=-1\end{array}\right., onde \alpha, \beta, \delta \in [0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado dá o sistema trigonométrico
\begin{cases} \sin\alpha - \cos\beta - \tan\delta = 1,\\\\ 2\,\sin\alpha - 2\,\cos\beta = 2,\\\\ -\,\sin\alpha + 2\,\cos\beta + \tan\delta = -1, \end{cases}
com \alpha,\beta,\delta\in[0,2\pi]. O objetivo é resolver para \alpha,\beta,\delta. Vamos usar álgebra simples e identidades trigonométricas.

Passo 2

Da segunda equação dividida por 2 obtemos
\sin\alpha - \cos\beta = 1.

Passo 3

Substituindo \sin\alpha - \cos\beta=1 na primeira equação
(\sin\alpha - \cos\beta)-\tan\delta = 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \tan\delta = 1 \quad\Longrightarrow\quad \tan\delta = 0.

Passo 4

Na terceira equação, com \tan\delta=0, temos
-\,\sin\alpha + 2\,\cos\beta = -1.
Mas de \sin\alpha - \cos\beta=1 segue
-\,\sin\alpha + \cos\beta = -1.
Logo
-\,\sin\alpha + 2\,\cos\beta =(-\sin\alpha + \cos\beta)+\cos\beta =-1 + \cos\beta \stackrel{!}{=}-1 \quad\Longrightarrow\quad \cos\beta = 0.

Passo 5

Agora temos o sistema reduzido
\sin\alpha = 1,\quad \cos\beta = 0,\quad \tan\delta = 0.
As soluções em [0,2\pi] são: \sin\alpha=1 \alpha = \tfrac{\pi}{2}. \cos\beta=0 \beta = \tfrac{\pi}{2} ou \beta = \tfrac{3\pi}{2}. \tan\delta=0 \delta = k\pi com k=0,1,2, ou seja \delta = 0,\pi,2\pi.

Resposta

\alpha = \tfrac{\pi}{2},\ \beta \in \bigl\{\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2}\bigr\},\ \delta \in \{0,\,\pi,\,2\pi\}.

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