Determine p_{\alpha}(x) e construa \mathbb{Q}[\alpha] para:
\alpha=\sqrt{11}

Passo 1

O enunciado dá \alpha=\sqrt{11} e pede duas coisas:
  1. Determinar p_{\alpha}(x) (o polinômio mínimo de \alpha sobre \mathbb{Q}).
  2. Construir \mathbb{Q}[\alpha].
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • \alpha=\sqrt{11}, portanto \alpha^2=11.
  • Queremos descrever o polinômio em \mathbb{Q}[x] que é monico, irrreducível e tem \alpha como raiz, e descrever explicitamente o conjunto \mathbb{Q}[\alpha].

Passo 2

O que é p_{\alpha}(x) (polinômio mínimo)? Vou explicar de forma simples e direta:
  • Pelo conceito, p_{\alpha}(x) é o polinômio monico de menor grau em \mathbb{Q}[x] tal que p_{\alpha}(\alpha)=0.
  • Ele deve ser irredutível em \mathbb{Q}[x] (ou seja, não pode ser escrito como produto de polinômios de grau positivo com coeficientes racionais).
  • O grau de p_{\alpha} é exatamente o grau da extensão [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}].
Vou usar esse conceito para encontrar p_{\alpha}.

Passo 3

Como \alpha=\sqrt{11}, temos imediatamente uma equação algébrica satisfeita por \alpha:
\alpha^2=11.
Portanto \alpha é raiz do polinômio monico
x^2-11\in\mathbb{Q}[x].
Esse é um candidato natural para p_{\alpha}(x). Agora preciso verificar se ele é irredutível em \mathbb{Q}[x].

Passo 4

Provar que x^2-11 é irredutível em \mathbb{Q}[x]:
  • Um polinômio quadrático em \mathbb{Q}[x] seria reduzível apenas se tivesse uma raiz racional.
  • Pelo teste da raiz racional, qualquer raiz racional de x^2-11 na forma \frac{p}{q} (em termos primos) teria p dividindo 11 e q dividindo 1. Logo as únicas possibilidades inteiras são p/q=\pm1,\pm11.
  • Testando: 1^2-11=-10\neq0,\quad (-1)^2-11=-10\neq0,
11^2-11=121-11=110\neq0,\quad (-11)^2-11=110\neq0.
  • Logo x^2-11 não tem raízes racionais e portanto não se fatoriza em fatores lineares em \mathbb{Q}[x]. Sendo de grau 2, isso implica que x^2-11 é irredutível em \mathbb{Q}[x].
Concluo que x^2-11 é o polinômio mínimo de \alpha.

Passo 5

Agora vou construir \mathbb{Q}[\alpha] e explicar por que toma a forma usual:
  • Por definição, \mathbb{Q}[\alpha] é o menor subanel de \mathbb{C} que contém \mathbb{Q} e \alpha. Para elementos algébricos, \mathbb{Q}[\alpha] é na verdade um corpo e coincide com \mathbb{Q}(\alpha).
  • Qualquer polinômio f(x)\in\mathbb{Q}[x] avaliado em \alpha dá um elemento de \mathbb{Q}[\alpha]. Mas como p_{\alpha}(x)=x^2-11 anula \alpha, podemos reduzir qualquer potência de \alpha de grau \ge2 usando a relação \alpha^2=11.
  • Assim, qualquer elemento de \mathbb{Q}[\alpha] pode ser escrito, após reduzir potências altas, como combinação linear
a+b\alpha
com a,b\in\mathbb{Q}. Em termos formais:
\mathbb{Q}[\alpha]=\{a+b\alpha \mid a,b\in\mathbb{Q}\}.

Passo 6

Vou mostrar de modo concreto que isso é um corpo e dar a fórmula de multiplicação e inverso (útil para a prova):
  • Soma: (a+b\alpha)+(c+d\alpha)=(a+c)+(b+d)\alpha, claramente fechado e com operação simples em coeficientes racionais.
  • Multiplicação: usando \alpha^2=11,
(a+b\alpha)(c+d\alpha)=ac+(ad+bc)\alpha+bd\alpha^2.
Agora substituímos \alpha^2=11 (essa é a chave para reduzir grau):
(a+b\alpha)(c+d\alpha)=(ac+11bd)+(ad+bc)\alpha,
que novamente é da forma A+B\alpha com A,B\in\mathbb{Q}.
  • Inverso: para a+b\alpha\neq0, calculamos o inverso multiplicativo multiplicando pelo “conjugado” a-b\alpha:
(a+b\alpha)(a-b\alpha)=a^2-b^2\alpha^2=a^2-11b^2.
Como x^2-11 é irreducível, não existem a,b\in\mathbb{Q}, com a e b não ambos nulos, tais que a^2-11b^2=0 (caso contrário teríamos \left(\tfrac{a}{b}\right)^2=11 com \tfrac{a}{b}\in\mathbb{Q}, o que é impossível). Portanto a^2-11b^2\neq0 e
(a+b\alpha)^{-1}=\frac{a-b\alpha}{a^2-11b^2}\in\mathbb{Q}[\alpha].
Isso prova que \mathbb{Q}[\alpha] é fechado sob inversos e é um corpo.

Passo 7

Relação com o anel quociente e grau da extensão:
  • Há um isomorfismo de corpos
\mathbb{Q}[x]/(x^2-11)\simeq\mathbb{Q}[\alpha],
envia a classe de x em \mathbb{Q}[x]/(x^2-11) para \alpha. A irreducibilidade de x^2-11 garante que o ideal (x^2-11) é maximal e o quociente é um corpo.
  • O grau [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] é \deg p_{\alpha}=2. Uma base usual como espaço vetorial sobre \mathbb{Q} é \{1,\alpha\}.

Resposta

p_{\alpha}(x)=x^{2}-11
\mathbb{Q}[\alpha]=\{a+b\alpha \mid a,b\in\mathbb{Q}\} com base \{1,\alpha\} e [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=2.

Exercícios relacionados