Determine
e construa
para:
Passo 1
O enunciado dá
e pede duas coisas:
- Determinar
(o polinômio mínimo de sobre ). - Construir
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
, portanto . - Queremos descrever o polinômio em
que é monico, irrreducível e tem como raiz, e descrever explicitamente o conjunto .
Passo 2
O que é
(polinômio mínimo)? Vou explicar de forma simples e direta:
- Pelo conceito,
é o polinômio monico de menor grau em tal que . - Ele deve ser irredutível em
(ou seja, não pode ser escrito como produto de polinômios de grau positivo com coeficientes racionais). - O grau de
é exatamente o grau da extensão .
Vou usar esse conceito para encontrar
.
Passo 3
Como
, temos imediatamente uma equação algébrica satisfeita por
:
Portanto
é raiz do polinômio monico
Esse é um candidato natural para
. Agora preciso verificar se ele é irredutível em
.
Passo 4
Provar que
é irredutível em
:
- Um polinômio quadrático em
seria reduzível apenas se tivesse uma raiz racional. - Pelo teste da raiz racional, qualquer raiz racional de
na forma (em termos primos) teria dividindo e dividindo . Logo as únicas possibilidades inteiras são . - Testando:
- Logo
não tem raízes racionais e portanto não se fatoriza em fatores lineares em . Sendo de grau , isso implica que é irredutível em .
Concluo que
é o polinômio mínimo de
.
Passo 5
Agora vou construir
e explicar por que toma a forma usual:
- Por definição,
é o menor subanel de que contém e . Para elementos algébricos, é na verdade um corpo e coincide com . - Qualquer polinômio
avaliado em dá um elemento de . Mas como anula , podemos reduzir qualquer potência de de grau usando a relação . - Assim, qualquer elemento de
pode ser escrito, após reduzir potências altas, como combinação linear
com
. Em termos formais:
Passo 6
Vou mostrar de modo concreto que isso é um corpo e dar a fórmula de multiplicação e inverso (útil para a prova):
- Soma:
, claramente fechado e com operação simples em coeficientes racionais. - Multiplicação: usando
,
Agora substituímos
(essa é a chave para reduzir grau):
que novamente é da forma
com
.
- Inverso: para
, calculamos o inverso multiplicativo multiplicando pelo “conjugado” :
Como
é irreducível, não existem
, com
e
não ambos nulos, tais que
(caso contrário teríamos
com
, o que é impossível). Portanto
e
Isso prova que
é fechado sob inversos e é um corpo.
Passo 7
Relação com o anel quociente e grau da extensão:
- Há um isomorfismo de corpos
envia a classe de
em
para
. A irreducibilidade de
garante que o ideal
é maximal e o quociente é um corpo.
- O grau
é . Uma base usual como espaço vetorial sobre é .