Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas (resumindo): o integrando é a função
e os limites de integração são
e
. O objetivo é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Escolhemos uma substituição trigonométrica porque o integrando tem a forma
(com
) e a substituição
transforma
em
, o que simplifica muito a expressão. Vou aplicar
. Agora vou calcular as quantidades necessárias para mudar a variável.
Passo 3
Fazendo
temos
Também
Logo
Substituindo tudo na integral obtemos (os novos limites: quando
então
; quando
então
):
Passo 4
Simplificando o integrando temos
Portanto a integral virou
Uso a identidade
para integrar facilmente:
Assim a integral é
Passo 5
Agora preciso avaliar
e
no limite superior
. Seja
tal que
. Constrói-se um triângulo retângulo com cateto oposto
, cateto adjacente
e hipotenusa
. Assim
Então
Substituindo na expressão obtida no Passo 4 (o termo em
é zero) obtemos
Passo 6
Simplifico o termo final:
Portanto o valor da integral é