Calcule \int_{0}^{1} \frac{1}{\left(x^{2}+2\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas (resumindo): o integrando é a função x\mapsto\frac{1}{(x^{2}+2)^{2}} e os limites de integração são x=0 e x=1. O objetivo é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Escolhemos uma substituição trigonométrica porque o integrando tem a forma \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}} (com a^{2}=2) e a substituição x=a\tan\theta transforma x^{2}+a^{2} em a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta, o que simplifica muito a expressão. Vou aplicar x=\sqrt{2}\tan\theta. Agora vou calcular as quantidades necessárias para mudar a variável.

Passo 3

Fazendo x=\sqrt{2}\tan\theta temos
dx=\sqrt{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Também
x^{2}+2=2\tan^{2}\theta+2=2(1+\tan^{2}\theta)=2\operatorname{sec}^{2}\theta.
Logo
\left(x^{2}+2\right)^{2}=\big(2\operatorname{sec}^{2}\theta\big)^{2}=4\operatorname{sec}^{4}\theta.
Substituindo tudo na integral obtemos (os novos limites: quando x=0 então \theta=0; quando x=1 então \theta=\arctan\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big)):
\int_{0}^{1}\frac{1}{(x^{2}+2)^{2}}\,dx =\int_{0}^{\arctan(1/\sqrt{2})}\frac{1}{4\operatorname{sec}^{4}\theta}\cdot\sqrt{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Simplificando o integrando temos
\frac{\sqrt{2}\operatorname{sec}^{2}\theta}{4\operatorname{sec}^{4}\theta}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}\theta}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cos^{2}\theta.
Portanto a integral virou
\int_{0}^{\arctan(1/\sqrt{2})}\frac{\sqrt{2}}{4}\cos^{2}\theta\,d\theta.
Uso a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2} para integrar facilmente:
\frac{\sqrt{2}}{4}\cos^{2}\theta=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{1+\cos(2\theta)}{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\big(1+\cos(2\theta)\big).
Assim a integral é
\frac{\sqrt{2}}{8}\int_{0}^{\arctan(1/\sqrt{2})}\big(1+\cos(2\theta)\big)\,d\theta =\frac{\sqrt{2}}{8}\Big[\theta+\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Big]_{0}^{\arctan(1/\sqrt{2})}.

Passo 5

Agora preciso avaliar \theta e \sin(2\theta) no limite superior \theta=\arctan\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big). Seja \theta tal que \tan\theta=\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Constrói-se um triângulo retângulo com cateto oposto 1, cateto adjacente \sqrt{2} e hipotenusa \sqrt{1+2}=\sqrt{3}. Assim
\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Então
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta =2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} =\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Substituindo na expressão obtida no Passo 4 (o termo em 0 é zero) obtemos
\frac{\sqrt{2}}{8}\Big(\arctan\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big)+\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\Big) =\frac{\sqrt{2}}{8}\arctan\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big)+\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 6

Simplifico o termo final:
\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}.
Portanto o valor da integral é
\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{2}}{8}\arctan\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}+\frac{\sqrt{2}}{8}\arctan\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big)

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