Mostre que \{r, s\} é um conjunto L.D. sobre \mathbb{Q} se r, s \in \mathbb{Q}.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que o conjunto \{r,s\} é linearmente dependente sobre \mathbb{Q}, sabendo que r,s\in\mathbb{Q}.
Informações dadas: r e s são números racionais, ou seja, r,s\in\mathbb{Q}.
Objetivo concreto: produzir escalares \alpha,\beta\in\mathbb{Q}, nem ambos zero, tais que \alpha r+\beta s=0.

Passo 2

Definição de dependência linear (explicada): um conjunto \{v_{1},v_{2}\} é linearmente dependente sobre um corpo F se existem escalares \alpha,\beta\in F, nem ambos iguais a zero, tal que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}=0.
Aqui: os “vetores” são os números r e s (considerados como elementos do espaço vetorial \mathbb{Q} sobre o corpo \mathbb{Q}). A tarefa é então encontrar \alpha,\beta\in\mathbb{Q} não ambos nulos com \alpha r+\beta s=0.

Passo 3

Escolha natural de coeficientes: experimente \alpha=s e \beta=-r. Essas escolhas fazem sentido porque r,s\in\mathbb{Q} e fechadura de \mathbb{Q} garante s\in\mathbb{Q} e -r\in\mathbb{Q}. Calcule a combinação linear:
\alpha r+\beta s = s\cdot r + (-r)\cdot s.

Passo 4

Efetue a conta: por comutatividade e distributividade dos números,
s\cdot r + (-r)\cdot s = sr - rs = 0.
Portanto com \alpha=s e \beta=-r obtivemos uma combinação linear que vale zero.

Passo 5

Verifique a não trivialidade dos coeficientes: precisamos que \alpha e \beta não sejam ambos zero. Se r e s não forem ambos zero, então (\alpha,\beta)=(s,-r) não é (0,0) (pois se s=0 então \beta=-r\neq0 quando r\neq0, e vice-versa). Logo nesses casos já temos uma combinação não trivial. Se r=s=0 então o conjunto é \{0,0\} e basta escolher, por exemplo, \alpha=1, \beta=0 (ambos racionais) para ter
1\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0,
com (\alpha,\beta)\neq(0,0). Assim a não trivialidade também é atendida no caso r=s=0.

Passo 6

Conclusão didática: em todos os casos encontramos escalares racionais \alpha,\beta, nem ambos zero, com \alpha r+\beta s=0. Isso mostra que \{r,s\} é linearmente dependente sobre \mathbb{Q}. (Intuição extra: isso também reflete o fato de que \mathbb{Q}, visto como espaço vetorial sobre si mesmo, tem dimensão 1, então qualquer conjunto com dois elementos é necessariamente dependente.)

Resposta

\{r,s\} é linearmente dependente sobre \mathbb{Q}.

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