Mostre que
é um conjunto L.D. sobre
se
.
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que o conjunto
é linearmente dependente sobre
, sabendo que
.
Informações dadas: e
são números racionais, ou seja,
.
Objetivo concreto: produzir escalares , nem ambos zero, tais que
.
Informações dadas:
Objetivo concreto: produzir escalares
Passo 2
Definição de dependência linear (explicada): um conjunto
é linearmente dependente sobre um corpo
se existem escalares
, nem ambos iguais a zero, tal que
Aqui: os “vetores” são os números
e
(considerados como elementos do espaço vetorial
sobre o corpo
). A tarefa é então encontrar
não ambos nulos com
.
Passo 3
Escolha natural de coeficientes: experimente
e
. Essas escolhas fazem sentido porque
e fechadura de
garante
e
. Calcule a combinação linear:
Passo 4
Efetue a conta: por comutatividade e distributividade dos números,
Portanto com
e
obtivemos uma combinação linear que vale zero.
Passo 5
Verifique a não trivialidade dos coeficientes: precisamos que
e
não sejam ambos zero. Se
e
não forem ambos zero, então
não é
(pois se
então
quando
, e vice-versa). Logo nesses casos já temos uma combinação não trivial. Se
então o conjunto é
e basta escolher, por exemplo,
,
(ambos racionais) para ter
com
. Assim a não trivialidade também é atendida no caso
.
Passo 6
Conclusão didática: em todos os casos encontramos escalares racionais
, nem ambos zero, com
. Isso mostra que
é linearmente dependente sobre
. (Intuição extra: isso também reflete o fato de que
, visto como espaço vetorial sobre si mesmo, tem dimensão
, então qualquer conjunto com dois elementos é necessariamente dependente.)