Determine as alternativas verdadeiras:
Escolha uma ou mais:
Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer de
é constante, então
para todo
.
Escolha uma ou mais:
Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do segundo grau na forma:
E a questão fala sobre o Wronskiano de duas soluções dessa equação ser constante. Queremos saber se, com essa condição, o coeficiente $ p(t) $ precisa ser zero para todo $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ da equação diferencial, o Wronskiano $ W $ é dado por:
Ele nos dá uma medida de quão linearmente independentes são as soluções.
Passo 3
Uma propriedade importante do Wronskiano para equações diferenciais lineares de segunda ordem é que ele satisfaz a seguinte equação:
Aqui, $ W’ $ é a derivada do Wronskiano em relação a $ t $.
Passo 4
Agora, a questão nos diz que o Wronskiano é constante. Isso significa que a derivada do Wronskiano em relação a $ t $ é zero:
Passo 5
Substituindo $ W’ = 0 $ na equação do Wronskiano, temos:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira, temos duas possibilidades:
- $ W = 0 $: Mas isso significaria que as soluções não são linearmente independentes, o que não é o caso se estamos considerando duas soluções distintas.
- $ p(t) = 0 $: Esta é a solução que consideramos válida.
Passo 7
Portanto, para que o Wronskiano seja constante e diferente de zero (o que garante que as soluções são independentes), temos que obrigatoriamente $ p(t) = 0 $ para todo $ t $.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer é constante, então $ p(t) = 0 $ para todo $ t $.