Determine as alternativas verdadeiras:
Escolha uma ou mais:
Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer de y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0 é constante, então p(t)=0 para todo t.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do segundo grau na forma:
y'' + p(t) y' + q(t) y = 0
E a questão fala sobre o Wronskiano de duas soluções dessa equação ser constante. Queremos saber se, com essa condição, o coeficiente $ p(t) $ precisa ser zero para todo $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ da equação diferencial, o Wronskiano $ W $ é dado por:
y1
Ele nos dá uma medida de quão linearmente independentes são as soluções.

Passo 3

Uma propriedade importante do Wronskiano para equações diferenciais lineares de segunda ordem é que ele satisfaz a seguinte equação:
W' = -p(t) W
Aqui, $ W’ $ é a derivada do Wronskiano em relação a $ t $.

Passo 4

Agora, a questão nos diz que o Wronskiano é constante. Isso significa que a derivada do Wronskiano em relação a $ t $ é zero:
t

Passo 5

Substituindo $ W’ = 0 $ na equação do Wronskiano, temos:
W' = 0

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira, temos duas possibilidades:
  1. $ W = 0 $: Mas isso significaria que as soluções não são linearmente independentes, o que não é o caso se estamos considerando duas soluções distintas.
  2. $ p(t) = 0 $: Esta é a solução que consideramos válida.

Passo 7

Portanto, para que o Wronskiano seja constante e diferente de zero (o que garante que as soluções são independentes), temos que obrigatoriamente $ p(t) = 0 $ para todo $ t $.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer é constante, então $ p(t) = 0 $ para todo $ t $.

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