Determine as alternativas verdadeiras:
Escolha uma ou mais:
Se
e
tem um ponto de inflexão comum
em
, então podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Escolha uma ou mais:
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar se a seguinte afirmação é verdadeira:
“Se $ y_{1} $ e $ y_{2} $ têm um ponto de inflexão comum $ t_{0} $ no intervalo $ I $, então podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.”
Estamos lidando com equações diferenciais, especificamente com conjuntos fundamentais de soluções. Para resolver isso, vamos entender o que significa ter um ponto de inflexão comum e o que é um conjunto fundamental de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto de inflexão. É um ponto onde a concavidade da curva muda, ou seja, onde a segunda derivada da função muda de sinal.
Agora, um conjunto fundamental de soluções para uma equação diferencial linear de segunda ordem é um par de soluções que são linearmente independentes em todo o intervalo considerado. Isso significa que nenhuma das soluções pode ser escrita como múltiplo da outra.
Passo 3
Ter um ponto de inflexão comum $ t_{0} $ significa que ambas as funções $ y_{1} $ e $ y_{2} $ mudam de concavidade no mesmo ponto. Isso implica que suas segundas derivadas são iguais a zero em $ t_{0} $:
Passo 4
Para que $ y_{1} $ e $ y_{2} $ formem um conjunto fundamental de soluções, elas precisam ser linearmente independentes. Uma maneira de verificar a independência linear é calcular o Wronskiano:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo $ I $, as soluções são linearmente independentes.
Passo 5
No ponto $ t_{0} $, onde ambas têm ponto de inflexão, é possível que suas derivadas segundas sejam iguais, mas isso não necessariamente torna o Wronskiano zero. A linear independência depende das derivadas de primeira ordem e das funções em si, não apenas das segundas derivadas.
Passo 6
Portanto, o fato de $ y_{1} $ e $ y_{2} $ terem um ponto de inflexão comum não garante que elas sejam linearmente independentes ou, em outras palavras, que formem um conjunto fundamental de soluções.
Resposta
A afirmação é falsa.