Determine as alternativas verdadeiras:
Escolha uma ou mais:
Se
e
nunca se anulam no mesmo ponto em
, então formam um conjunto fundamental de soluções de
com
e
contínuas.
Escolha uma ou mais:
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E a afirmação diz que se duas soluções, $ y_1 $ e $ y_2 $, nunca se anulam no mesmo ponto no intervalo $ I $, então elas formam um conjunto fundamental de soluções dessa equação, onde $ p(t) $ e $ q(t) $ são funções contínuas. Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira.
Passo 2
Para entender se $ y_1 $ e $ y_2 $ formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos saber o que isso significa. Um conjunto fundamental de soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem é composto por duas soluções linearmente independentes. Isso significa que nenhuma das soluções pode ser expressa como múltiplo da outra.
Passo 3
Uma maneira de verificar a independência linear de duas soluções é calcular o Wronskiano delas. O Wronskiano de $ y_1 $ e $ y_2 $ é dado por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo $ I $, as soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 4
A condição dada no exercício é que $ y_1 $ e $ y_2 $ nunca se anulam no mesmo ponto em $ I $. Isso impede que as soluções tenham zeros coincidentes, o que está relacionado com a independência linear. Se $ y_1 $ e $ y_2 $ fossem múltiplos uma da outra, elas teriam zeros nos mesmos pontos, tornando o Wronskiano zero.
Passo 5
Como $ y_1 $ e $ y_2 $ não se anulam no mesmo ponto, isso sugere que o Wronskiano não é zero em $ I $, indicando que as soluções são linearmente independentes. Portanto, $ y_1 $ e $ y_2 $ formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada, desde que $ p(t) $ e $ q(t) $ sejam contínuas.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se $ y_1 $ e $ y_2 $ nunca se anulam no mesmo ponto em $ I $, então elas formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial $ y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0 $ com $ p(t) $ e $ q(t) $ contínuas.