Determine a altura do cone circular reto, de volume máximo, inscrito na esfera de raio R dada.

Passo 1

O problema pede para determinar a altura h do cone circular reto, de volume máximo, que cabe dentro de uma esfera de raio R. Vamos usar conceitos de geometria analítica para relacionar as dimensões do cone com a esfera e aplicar cálculo para maximizar o volume.

Passo 2

Para modelar, posicionamos a esfera centrada na origem e o vértice do cone no “topo” da esfera em z=R. Se a base do cone está no plano z=z0, então a altura é h=R-z0 e o raio da base r satisfaz r^2+z0^2=R^2, ou seja r=raizR^2-z0^2.
O volume do cone é V=tfracpi3r^2h. Substituindo r e h em função de z0 temos
V(z0)=pi3(R-z0)(R^2-z0^2)
Podemos simplificar ou usar diretamente essa expressão para otimizar.

Passo 3

Para encontrar o máximo, derivamos V(z0) em relação a z0, igualamos a zero e resolvemos:
dVdz0=0 Rightarrow 3z0^2-2Rz0-R^2=0
As soluções são z0=R (desprezível) e z0=-tfracR3.
A solução viável é z0=-tfracR3. Assim a altura do cone fica
h=R-(-tfracR3)=4R3
Confirmamos que esse valor maximiza o volume pois corresponde a um ponto de máximo da função.

Resposta

h=4R3

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