Determine a altura do cone circular reto, de volume máximo, inscrito na esfera de raio
dada.
Passo 1
O problema pede para determinar a altura
do cone circular reto, de volume máximo, que cabe dentro de uma esfera de raio
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para relacionar as dimensões do cone com a esfera e aplicar cálculo para maximizar o volume.
Passo 2
Para modelar, posicionamos a esfera centrada na origem e o vértice do cone no “topo” da esfera em
. Se a base do cone está no plano
, então a altura é
e o raio da base
satisfaz
, ou seja
.
O volume do cone é . Substituindo
e
em função de
temos
O volume do cone é
Podemos simplificar ou usar diretamente essa expressão para otimizar.
Passo 3
Para encontrar o máximo, derivamos
em relação a
, igualamos a zero e resolvemos:
As soluções são
(desprezível) e
.
A solução viável é . Assim a altura do cone fica
A solução viável é
Confirmamos que esse valor maximiza o volume pois corresponde a um ponto de máximo da função.