Para cada uma das funções abaixo
  • determine D(f);
  • determine os pontos onde f intercepta o eixo x e o eixo y;
  • determine os pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento;
  • determine os candidatos a pontos de inflexão e estude a concavidade e pontos de inflexão;
  • faça uma tabela com sinais de f^prime e f^prime prime, que justifiquem onde estão os máximos, mínimos e pontos de inflexão;
  • determine se existem assíntotas verticais e horizontais;
  • esboce o gráfico.
    f(x)=x^31+x^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar completamente a função f(x)=x^31+x^2: domínio, interceptos, monotonia, concavidade e pontos de inflexão, tabelas de sinais de f' e f'', assíntotas e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda, divisão de polinômios e estudo de sinais para isso.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio e os interceptos. Como o denominador 1+x^2>0 para todo x, temos D(f)=R. Para os interceptos com os eixos: intercepto em x vem de f(x)=0 ⇔ numerador x^3=0 x=0, logo ponto (0,0). Intercepto em y é f(0)=0, logo também (0,0).

Passo 3

Agora calculamos f'(x) via quociente: seja u=x^3 e v=1+x^2. Então
f'(x)=u'v - uv'v^2=3x^2(1+x^2) - x^3cdot 2x(1+x^2)^2=x^2(3 + x^2)(1+x^2)^2

Passo 4

Como x^2>=0 e 3+x^2>0, vemos que f'(x)>=0 para todo x, sendo zero apenas em x=0. Logo f é estritamente crescente em R (cresce em ( -infty,0) e em (0,infty)), e o único ponto crítico é x=0, que não muda o sinal de f', portanto não é nem máximo nem mínimo, mas um ponto de platô.

Passo 5

Para a concavidade, obtém-se f''(x). Usando derivação do quociente sobrevivente, chega-se a
f''(x)=2x,(3 - x^2)(1+x^2)^3

Passo 6

O sinal de f''(x) depende do numerador 2x(3 - x^2):
  • Para x< -raiz3: x<0 e 3 - x^2<0 f''>0 (côncavo para cima).
  • Para -raiz3: x<0 e 3 - x^2>0 f''<0 (côncavo para baixo).
  • Para 0: x>0 e 3 - x^2>0 f''>0 (côncavo para cima).
  • Para x>raiz3: x>0 e 3 - x^2<0 f''<0 (côncavo para baixo).

Passo 7

Assim temos pontos de inflexão onde f'' muda de sinal, isto é em x=-raiz3,0,raiz3. Seus valores são
[f(-\sqrt{3})=-\frac{3\sqrt{3}}{4},\quad f(0)=0,\quad f(\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{4}.

Passo 8

Para resumir o estudo de sinais montamos as tabelas:
f’(x): sinal positivo em ( -infty,0) e (0,infty), zero em 0.
f’’(x): + em ( -infty,-raiz3), – em ( -raiz3,0), + em (0,raiz3), – em (raiz3,infty).

Passo 9

Não há assíntotas verticais pois o denominador nunca anula. Para assíntota na infinidade, dividimos:
x^31+x^2=x + -x1+x^2,
logo ao ir para pminfty o termo -x1+x^2to0, e surge a assíntota oblíqua y=x.

Passo 10

O esboço do gráfico é uma curva estritamente crescente que passa pela origem, aproxima-se da reta y=x para xtopminfty, e apresenta pontos de inflexão em (-raiz3,-3raiz3/4), (0,0) e (raiz3,3raiz3/4), alternando concavidade conforme a tabela.
A implementação numérica e a análise de sinais justificam que não há máximos ou mínimos locais, apenas platô em 0.

Resposta

Resumo dos resultados:
Domínio: R.
Interceptos: único ponto (0,0).
Monotonia: crescente em todo R, com ponto crítico em x=0 sem extremos.
Concavidade e inflexões:
• Côncavo para cima em ( -infty,-raiz3) e (0,raiz3).
• Côncavo para baixo em ( -raiz3,0) e (raiz3,infty).
Pontos de inflexão em (-raiz3,-3raiz3/4), (0,0) e (raiz3,3raiz3/4).
Assíntota oblíqua: y=x (sem verticais ou horizontais).
Gráfico: curva S estritamente crescente que se aproxima de y=x nas extremidades, com as três inflexões descritas acima.

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