Para cada uma das funções abaixo
- determine
;
- determine os pontos onde
intercepta o eixo
e o eixo
;
- determine os pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento;
- determine os candidatos a pontos de inflexão e estude a concavidade e pontos de inflexão;
- faça uma tabela com sinais de
e
, que justifiquem onde estão os máximos, mínimos e pontos de inflexão;
- determine se existem assíntotas verticais e horizontais;
- esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para analisar completamente a função
: domínio, interceptos, monotonia, concavidade e pontos de inflexão, tabelas de sinais de
e
, assíntotas e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda, divisão de polinômios e estudo de sinais para isso.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio e os interceptos. Como o denominador
para todo
, temos
. Para os interceptos com os eixos: intercepto em
vem de
⇔ numerador
⇔
, logo ponto
. Intercepto em
é
, logo também
.
Passo 3
Agora calculamos
via quociente: seja
e
. Então
Passo 4
Como
e
, vemos que
para todo
, sendo zero apenas em
. Logo
é estritamente crescente em
(cresce em
e em
), e o único ponto crítico é
, que não muda o sinal de
, portanto não é nem máximo nem mínimo, mas um ponto de platô.
Passo 5
Para a concavidade, obtém-se
. Usando derivação do quociente sobrevivente, chega-se a
Passo 6
O sinal de
depende do numerador
:
- Para
: e → (côncavo para cima). - Para
: e → (côncavo para baixo). - Para
: e → (côncavo para cima). - Para
: e → (côncavo para baixo).
Passo 7
Assim temos pontos de inflexão onde
muda de sinal, isto é em
. Seus valores são
[f(-\sqrt{3})=-\frac{3\sqrt{3}}{4},\quad f(0)=0,\quad f(\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{4}.
Passo 8
Para resumir o estudo de sinais montamos as tabelas:
f’(x): sinal positivo em e
, zero em
.
f’’(x): + em , – em
, + em
, – em
.
f’(x): sinal positivo em
f’’(x): + em
Passo 9
Não há assíntotas verticais pois o denominador nunca anula. Para assíntota na infinidade, dividimos:
logo ao ir para
Passo 10
O esboço do gráfico é uma curva estritamente crescente que passa pela origem, aproxima-se da reta
para
, e apresenta pontos de inflexão em
,
e
, alternando concavidade conforme a tabela.
A implementação numérica e a análise de sinais justificam que não há máximos ou mínimos locais, apenas platô em .
A implementação numérica e a análise de sinais justificam que não há máximos ou mínimos locais, apenas platô em
Resposta
Resumo dos resultados:
Domínio: .
Interceptos: único ponto .
Monotonia: crescente em todo , com ponto crítico em
sem extremos.
Concavidade e inflexões:
• Côncavo para cima em e
.
• Côncavo para baixo em e
.
Pontos de inflexão em ,
e
.
Assíntota oblíqua: (sem verticais ou horizontais).
Gráfico: curva S estritamente crescente que se aproxima de nas extremidades, com as três inflexões descritas acima.
Domínio:
Interceptos: único ponto
Monotonia: crescente em todo
Concavidade e inflexões:
• Côncavo para cima em
• Côncavo para baixo em
Pontos de inflexão em
Assíntota oblíqua:
Gráfico: curva S estritamente crescente que se aproxima de