Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
A série sumn=1^+infty 4^n+27^n-1 é uma série geométrica cuja soma vale 73.

Passo 1

O enunciado propõe a série sumn=1^infty 4^n+27^n-1 e pede para classificá-la como verdadeira ou falsa, justificando. O conteúdo necessário é reconhecimento de série geométrica e cálculo de soma de série infinita convergente.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral para identificar a forma padrão de série geométrica. Observamos:
4^n+27^n-1 = 4^ncdot 4^27^ncdot 7^-1 = 16cdot 74^n7^n = 112(47)^n

Passo 3

Isso mostra que a série é geométrica de razão r=tfrac47 (com |r|<1, logo converge). O primeiro termo é
a1 = 112(47) = 64
Portanto, a soma vale
S = a11-r = 641 - 47 = 64tfrac37 = 64cdot73 = 4483

Passo 4

Como tfrac4483neqtfrac73, a afirmação de que a soma é tfrac73 é falsa.

Resposta

Falsa (F). A soma correta da série é tfrac4483.

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