2- Determine a altura manométrica de uma instalação, considerando o seguinte conjunto de valores para a vazão em 1 / \mathrm{s}, \mathrm{Q}=\{0,05,10,15,20\}. Em seguida, traçar o gráfico da altura manométrica X vazão. Considerar água escoando a em uma tubulação de Aço galvanizado ( \mathrm{C}=125 ) de 4 "( 100 mm ) de diâmetro. Considerando o comprimento da tubulação \mathrm{L}=100 \mathrm{~m}, e o comprimento equivalente para o conjunto dos acessórios Leq =80 \mathrm{~m}. Calcular a perda de carga, usando a Equação de Williams-Hasen e o método dos comprimentos equivalentes.
Dados da Instalação:
ha =2 \mathrm{~m}, ( aspiração )
\mathrm{hr}=20 \mathrm{~m}, (recalque)
Equação de Williams-Hasen:
v=0,355 . C . d^{0,63} . j^{0,54}
j=\frac{\Delta H}{L}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (identificação clara e sem resolver nada ainda).\n
  • Pedidos: determinar a altura manométrica da instalação para as vazões Q=\{0,\,5,\,10,\,15,\,20\} (unidade: litros por segundo) e traçar o gráfico altura manométrica \times vazão. \n- Dados fornecidos:\n - Tubulação de aço galvanizado com C=125.\n - Diâmetro da tubulação d=4''=0,1\\ \mathrm{m}. (peguei esse dado do enunciado)\n - Comprimento da tubulação L=100\\ \mathrm{m}.\n - Comprimento equivalente dos acessórios L_{eq}=80\\ \mathrm{m}.\n - Altura de aspiração h_a=2\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).\n - Altura de recalque h_r=20\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).\n - Equação de Williams–Hasen: v=0,355\;C\;d^{0,63}\;j^{0,54}\n - Definição de perda por unidade de comprimento: j=\frac{\Delta H}{L}\n\nObservação sobre as vazões: interpretei as vazões como Q em litros por segundo (L/s) porque é prática comum em hidráulica e os valores 5,\;10,\;15,\;20 fazem sentido como L/s. Vou converter para \mathrm{m^3/s} ao calcular. Não perguntei nada a mais — segui essa interpretação para poder resolver.

Passo 2

Estratégia geral e relação entre as quantidades (o que vamos calcular e por que).\n
  • Queremos a altura manométrica que a bomba precisa fornecer. A altura manométrica total que o sistema impõe ao fluido é a soma da diferença de nível (estática) mais as perdas por atrito (fricção) ao longo do conjunto de tubos e acessórios.\n- A diferença de nível estática é \Delta h_{est} = h_r - h_a.\n- As perdas por atrito totais \Delta H serão obtidas pelo método dos comprimentos equivalentes: somamos o comprimento real L mais o comprimento equivalente dos acessórios L_{eq} para obter um comprimento total efetivo L_{tot}. Então \Delta H = j\cdot L_{tot}, com j obtido a partir da equação de Williams–Hasen invertida.\n- A equação de Williams–Hasen dá v em função de j. Nós conhecemos v (a partir de Q e área do tubo), então vamos inverter a equação para obter j em função de v. Em seguida calculamos \Delta H e a altura manométrica total H_m: H_m = (h_r-h_a) + \Delta H.

Passo 3

Converter unidades e calcular a área interna do tubo; calcular as vazões em \mathrm{m^3/s} e as velocidades correspondentes.\n
  • Converter Q de L/s para \mathrm{m^3/s}: para cada valor em L/s dividimos por 1000. Logo as vazões que vamos usar são\n Q=\{0,\;0,005,\;0,01,\;0,015,\;0,02\}\\ \mathrm{m^3/s}.\n- Área da seção interna do tubo (círculo) é \displaystyle A=\frac{\pi d^2}{4}. Substituindo d=0,1\\ \mathrm{m}:\n A=\frac{\pi (0,1)^2}{4}=\frac{\pi\cdot 0,01}{4}\approx 0,00785398\\ \mathrm{m^2}.\n- Velocidade média v em cada vazão: \displaystyle v=\frac{Q}{A}. Calculando para cada Q:\n - Q=0\\ \mathrm{L/s}\Rightarrow Q=0\\ \mathrm{m^3/s}\Rightarrow v=0\\ \mathrm{m/s}.\n - Q=5\\ \mathrm{L/s}\Rightarrow Q=0,005\\ \mathrm{m^3/s}\Rightarrow v=\dfrac{0,005}{0,00785398}\approx 0,63662\\ \mathrm{m/s}.\n - Q=10\\ \mathrm{L/s}\Rightarrow Q=0,01\\ \mathrm{m^3/s}\Rightarrow v\approx 1,27324\\ \mathrm{m/s}.\n - Q=15\\ \mathrm{L/s}\Rightarrow Q=0,015\\ \mathrm{m^3/s}\Rightarrow v\approx 1,90986\\ \mathrm{m/s}.\n - Q=20\\ \mathrm{L/s}\Rightarrow Q=0,02\\ \mathrm{m^3/s}\Rightarrow v\approx 2,54648\\ \mathrm{m/s}.\n\n(Expliquei como obter A e v para que você consiga no rascunho da prova; tudo isso é só divisão e uma \pi.)

Passo 4

Isolar j na equação de Williams–Hasen e calcular o coeficiente constante que aparece ao inverter a equação.\n
  • A equação dada é \displaystyle v=0,355\;C\;d^{0,63}\;j^{0,54}.\n- Isolando j:\n j=\left(\frac{v}{0,355\;C\;d^{0,63}}\right)^{\frac{1}{0,54}}.\n- Vamos calcular o termo constante K=0,355\;C\;d^{0,63} uma vez só, usando C=125 e d=0,1\\ \mathrm{m}:\n - Primeiro d^{0,63}=(0,1)^{0,63}=10^{-0,63}\approx 0,23418.\n - Então K=0,355\cdot 125\cdot 0,23418\approx 10,395.\n- Assim usamos a fórmula prática:\n j=\left(\frac{v}{10,395}\right)^{\frac{1}{0,54}}=\left(\frac{v}{10,395}\right)^{1,85185185\ldots}.\n(Explicando: a potência 1/0,54 dá aproximadamente 1,85185. Sempre escrevo o K para evitar recalcular o produto várias vezes.)

Passo 5

Calcular j para cada vazão (substituindo cada v), depois calcular a perda de carga total \Delta H usando comprimentos equivalentes e por fim calcular a altura manométrica H_m.\n
  • Comprimento total equivalente do trecho (tubo + acessórios):\n L_{tot}=L + L_{eq}=100+80=180\\ \mathrm{m}.\n- Agora aplicamos a fórmula do passo anterior para cada v:\n 1. Q=0\\ \mathrm{L/s}:\\ v=0\Rightarrow j=0. Então \Delta H=jL_{tot}=0 e\n H_m=(h_r-h_a)+\Delta H=20-2+0=18\\ \mathrm{m}.\n 2. Q=5\\ \mathrm{L/s}:\\ v\approx 0,63662\\ \mathrm{m/s}.\n j=\left(\frac{0,63662}{10,395}\right)^{1,85185}\approx 0,00570\\ \mathrm{(m/m)}.\n \Delta H=j\cdot L_{tot}=0,00570\cdot 180\approx 1,03\\ \mathrm{m}.\n H_m=18+1,03\approx 19,03\\ \mathrm{m}.\n 3. Q=10\\ \mathrm{L/s}:\\ v\approx 1,27324\\ \mathrm{m/s}.\n j=\left(\frac{1,27324}{10,395}\right)^{1,85185}\approx 0,0206\\ \mathrm{(m/m)}.\n \Delta H=0,0206\cdot 180\approx 3,71\\ \mathrm{m}.\n H_m=18+3,71\approx 21,71\\ \mathrm{m}.\n 4. Q=15\\ \mathrm{L/s}:\\ v\approx 1,90986\\ \mathrm{m/s}.\n j=\left(\frac{1,90986}{10,395}\right)^{1,85185}\approx 0,0435\\ \mathrm{(m/m)}.\n \Delta H=0,0435\cdot 180\approx 7,83\\ \mathrm{m}.\n H_m=18+7,83\approx 25,83\\ \mathrm{m}.\n 5. Q=20\\ \mathrm{L/s}:\\ v\approx 2,54648\\ \mathrm{m/s}.\n j=\left(\frac{2,54648}{10,395}\right)^{1,85185}\approx 0,0744\\ \mathrm{(m/m)}.\n \Delta H=0,0744\cdot 180\approx 13,39\\ \mathrm{m}.\n H_m=18+13,39\approx 31,39\\ \mathrm{m}.\n\n- Observação didática: cada passo acima é só substituir v na expressão de j. Se fizeres no rascunho da prova, calcula primeiro o quociente v/K, depois aplica a potência 1/0,54. Use logaritmos se preferir para facilitar as potências não inteiras.

Passo 6

Como traçar o gráfico altura manométrica H_m versus vazão Q (instruções práticas para a prova).\n
  • Eixos: colocar Q no eixo x em \mathrm{L/s} (valores 0,5,10,15,20) e H_m no eixo y em metros.\n- Pontos a plotar (coordenadas (Q,\;H_m)) que obtivemos:\n - (0,\;18,00)\n - (5,\;19,03)\n - (10,\;21,71)\n - (15,\;25,83)\n - (20,\;31,39)\n- Traçar uma curva suave ligando os pontos; a relação costuma ser crescente e ligeiramente convexa (perdas aumentam mais rápido com a vazão). Em prova, marcar bem os pontos e desenhar uma curva contínua que passe por eles.\n- Dica prática: se tens régua e papel milimetrado, marca os pontos e faz uma linha curva; se for prova com calculadora gráfica, insere os pontos e manda plotar.

Resposta

Q=0\\ \mathrm{L/s}:\\ H_m=18,00\\ \mathrm{m}\n
Q=5\\ \mathrm{L/s}:\\ H_m\approx 19,03\\ \mathrm{m}\n
Q=10\\ \mathrm{L/s}:\\ H_m\approx 21,71\\ \mathrm{m}\n
Q=15\\ \mathrm{L/s}:\\ H_m\approx 25,83\\ \mathrm{m}\n
Q=20\\ \mathrm{L/s}:\\ H_m\approx 31,39\\ \mathrm{m}

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