Uma adutora deve conduzir, por gravidade,
, em um desnível de
e com um comprimento de 2 km . Qual o diâmetro da adutora para ferro fundido e para cimento amianto, respectivamente?
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o diâmetro da adutora que deve conduzir, por gravidade, uma vazão de
com um desnível disponível de
e comprimento da tubulação de
. Foram dados os coeficientes de Hazen–Williams para dois materiais:
- vazão:
(vou converter para no passo seguinte); - desnível (carga disponível):
; - comprimento:
; - coeficientes de Hazen–Williams:
e .
Pergunta explícita: qual o diâmetro da adutora para ferro fundido e para cimento amianto, respectivamente?
Passo 2
Qual a fórmula que vamos usar e por quê.
Para escoamento em condutas à pressão (tubulação) e quando o problema fornece coeficiente do tipo Hazen–Williams, o método prático e direto é usar a fórmula de Hazen–Williams (aplicável em água, regime turbulento prático). A fórmula que relaciona perda de carga
com vazão
, comprimento
, diâmetro
e coeficiente
é:
Para escoamento em condutas à pressão (tubulação) e quando o problema fornece coeficiente
Explicando cada símbolo:
-
: perda de carga (m) — aqui vamos igualar a (o desnível disponível). -
: comprimento da tubulação (m). -
: vazão volumétrica ( ). -
: coeficiente de Hazen–Williams (adimensional) que depende do material e do estado interno da tubulação. -
: diâmetro interno da tubulação (m). - Os expoentes
e são empíricos da fórmula.
Motivo da escolha: o enunciado forneceu
(do tipo Hazen–Williams), portanto essa fórmula é a mais direta e usual para estimar diâmetro sem usar curvas complexas de perda por atrito.
Passo 3
Isolando
na fórmula para obter uma expressão explícita que nos permita calcular o diâmetro:
Reorganizando para
:
Portanto
Vamos usar essa expressão para calcular
nos dois casos (
e
), com
.
Passo 4
Conversões e cálculo do termo
.
Converter
para
:
Calcular
:
Para controlar a conta sem calculadora científica completa podemos usar logaritmo natural (aqui eu mostro o procedimento e já apresento o valor obtido com precisão compatível com cálculo manual):
(Resumo numérico:
.)
Passo 5
Calcular o numerador comum
.
Calcule passo a passo:
Logo o numerador vale aproximadamente
.
Passo 6
Cálculo para ferro fundido (
).
Primeiro
:
Usando logaritmo:
Agora o denominador
:
Calcular a razão (o conteúdo da potência):
Agora aplicar a potência
. O expoente é aproximadamente
porque
.
Tomando logaritmo natural para calcular a potência:
Portanto, para ferro fundido obtemos
(aproximadamente
).
Passo 7
Cálculo para cimento amianto (
).
Primeiro
:
Denominador
:
Razão:
Aplicando a potência
:
Portanto, para cimento amianto obtemos
(aproximadamente
).
Passo 8
Interpretação e arredondamento final (prático para a prova): em projetos de tubulação escolhemos um diâmetro comercial um pouco maior que o calculado. Aqui os valores calculados são:
- ferro fundido: cerca de
→ adotar um tubo de ou, por segurança hidráulica, dependendo das opções comerciais e perdas adicionais; - cimento amianto: cerca de
→ adotar um tubo de (se aceitar pequena perda extra) ou para folga hidráulica. Na prova, normalmente basta apresentar o diâmetro calculado.