Uma adutora deve conduzir, por gravidade, 68 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, em um desnível de 10,2 \mathrm{~m} e com um comprimento de 2 km . Qual o diâmetro da adutora para ferro fundido e para cimento amianto, respectivamente? \mathrm{C}_{\text {fofo }}=100 e \mathrm{C}_{\text {amianto }}=140.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o diâmetro da adutora que deve conduzir, por gravidade, uma vazão de 68\\ \mathrm{L/s} com um desnível disponível de 10,2\\ \mathrm{m} e comprimento da tubulação de 2\\ \mathrm{km}. Foram dados os coeficientes de Hazen–Williams para dois materiais:
  • vazão: Q=68\\ \mathrm{L/s} (vou converter para \mathrm{m^3/s} no passo seguinte);
  • desnível (carga disponível): H=10,2\\ \mathrm{m};
  • comprimento: L=2{,}0\\ \mathrm{km}=2000\\ \mathrm{m};
  • coeficientes de Hazen–Williams: C_{\text{ferro}}=100 e C_{\text{amianto}}=140.
Pergunta explícita: qual o diâmetro da adutora para ferro fundido e para cimento amianto, respectivamente?

Passo 2

Qual a fórmula que vamos usar e por quê.
Para escoamento em condutas à pressão (tubulação) e quando o problema fornece coeficiente C do tipo Hazen–Williams, o método prático e direto é usar a fórmula de Hazen–Williams (aplicável em água, regime turbulento prático). A fórmula que relaciona perda de carga h_f com vazão Q, comprimento L, diâmetro D e coeficiente C é:
h_f = 10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}871}}
Explicando cada símbolo:
  • h_f: perda de carga (m) — aqui vamos igualar a H (o desnível disponível).
  • L: comprimento da tubulação (m).
  • Q: vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}).
  • C: coeficiente de Hazen–Williams (adimensional) que depende do material e do estado interno da tubulação.
  • D: diâmetro interno da tubulação (m).
  • Os expoentes 1{,}852 e 4{,}871 são empíricos da fórmula.
Motivo da escolha: o enunciado forneceu C (do tipo Hazen–Williams), portanto essa fórmula é a mais direta e usual para estimar diâmetro sem usar curvas complexas de perda por atrito.

Passo 3

Isolando D na fórmula para obter uma expressão explícita que nos permita calcular o diâmetro:
h_f = 10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}871}}
Reorganizando para D^{4{,}871}:
D^{4{,}871} = 10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; h_f}
Portanto
D = \left(10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; h_f}\right)^{\frac{1}{4{,}871}}
Vamos usar essa expressão para calcular D nos dois casos ( C=100 e C=140), com h_f=H=10{,}2\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Conversões e cálculo do termo Q^{1{,}852}.
Converter Q para \mathrm{m^3/s}:
Q = 68\\ \mathrm{L/s} = 68\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}068\\ \mathrm{m^3/s}.
Calcular Q^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} = (0{,}068)^{1{,}852}.
Para controlar a conta sem calculadora científica completa podemos usar logaritmo natural (aqui eu mostro o procedimento e já apresento o valor obtido com precisão compatível com cálculo manual):
\ln(0{,}068) = -2{,}688247\quad\Rightarrow\quad 1{,}852\ln(0{,}068) = -4{,}978071
Q^{1{,}852} = e^{-4{,}978071} \approx 0{,}0069005.
(Resumo numérico: Q^{1{,}852}\approx 0{,}0069005.)

Passo 5

Calcular o numerador comum 10{,}67\; L\; Q^{1{,}852}.
L = 2000\\ \mathrm{m}
10{,}67\; L\; Q^{1{,}852} = 10{,}67 \times 2000 \times 0{,}0069005.
Calcule passo a passo:
2000\times 0{,}0069005 = 13{,}801
10{,}67\times 13{,}801 \approx 147{,}3
Logo o numerador vale aproximadamente 147{,}3.

Passo 6

Cálculo para ferro fundido ( C=100).
Primeiro C^{1{,}852}:
C^{1{,}852} = 100^{1{,}852}.
Usando logaritmo:
\log_{10}(100)=2 \quad\Rightarrow\quad 1{,}852\cdot 2 = 3{,}704
100^{1{,}852} = 10^{3{,}704} \approx 5{,}061\times 10^{3} \approx 5061.
Agora o denominador C^{1{,}852}\; h_f:
h_f = H = 10{,}2\\ \mathrm{m}
5061\times 10{,}2 \approx 51{,}632.
Calcular a razão (o conteúdo da potência):
\frac{10{,}67\; L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; h_f} \approx \frac{147{,}3}{51{,}632} \approx 0{,}002852.
Agora aplicar a potência \frac{1}{4{,}871}. O expoente é aproximadamente 0{,}20526 porque \frac{1}{4{,}871}\approx 0{,}20526.
Tomando logaritmo natural para calcular a potência:
\ln(0{,}002852) = -5{,}8576
\frac{1}{4{,}871}\ln(0{,}002852) = -5{,}8576\times 0{,}20526 = -1{,}2016
D = e^{-1{,}2016} \approx 0{,}3007\\ \mathrm{m}.
Portanto, para ferro fundido obtemos D\approx 0{,}3007\\ \mathrm{m} (aproximadamente 301\\ \mathrm{mm}).

Passo 7

Cálculo para cimento amianto ( C=140).
Primeiro C^{1{,}852}:
\log_{10}(140)\approx 2{,}146128\quad\Rightarrow\quad 1{,}852\times 2{,}146128 \approx 3{,}976
140^{1{,}852} = 10^{3{,}976} \approx 9{,}470\times 10^{3} \approx 9470.
Denominador C^{1{,}852}\; h_f:
9470\times 10{,}2 \approx 96{,}594.
Razão:
\frac{10{,}67\; L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; h_f} \approx \frac{147{,}3}{96{,}594} \approx 0{,}001524.
Aplicando a potência \frac{1}{4{,}871}:
\ln(0{,}001524) = -6{,}4868
-6{,}4868\times 0{,}20526 = -1{,}3310
D = e^{-1{,}3310} \approx 0{,}2636\\ \mathrm{m}.
Portanto, para cimento amianto obtemos D\approx 0{,}2636\\ \mathrm{m} (aproximadamente 264\\ \mathrm{mm}).

Passo 8

Interpretação e arredondamento final (prático para a prova): em projetos de tubulação escolhemos um diâmetro comercial um pouco maior que o calculado. Aqui os valores calculados são:
  • ferro fundido: cerca de 0{,}301\\ \mathrm{m} → adotar um tubo de 300\\ \mathrm{mm} ou, por segurança hidráulica, 315\\ \mathrm{mm} dependendo das opções comerciais e perdas adicionais;
  • cimento amianto: cerca de 0{,}264\\ \mathrm{m} → adotar um tubo de 250\\ \mathrm{mm} (se aceitar pequena perda extra) ou 300\\ \mathrm{mm} para folga hidráulica. Na prova, normalmente basta apresentar o diâmetro calculado.

Resposta

\text{Ferro fundido: }0,301\\ \mathrm{m}
\text{Cimento amianto: }0,264\\ \mathrm{m}

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