Determine (a) a amplitude, (b) a freqüência, (c) a velocidade (incluindo o sinal) e (d) o comprimento de onda da onda. (e) Determine a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda.
80 As oscilações de um diapasão de 600 Hz produzem ondas estacionárias em uma corda presa nas duas extremidades. A velocidade das ondas na corda é 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A onda estacionária tem dois comprimentos de onda e uma amplitude de 2,0 \mathrm{~mm}. (a) Qual é o comprimento da corda? (b) Escreva uma expressão para o deslocamento da corda em função da posição e do tempo.

Passo 1

O problema nos dá uma corda fixa em ambas as extremidades na qual se estabelece uma onda estacionária de amplitude máxima 2{,}0 mm, produzida por um diapasão de frequência f=600 Hz. A velocidade de propagação das ondas na corda é v=400 m/s. Como a corda sustenta “dois comprimentos de onda” ao longo de seu comprimento, vamos usar essas informações para determinar (a) o comprimento da corda e (b) a expressão do deslocamento y(x,t).

Passo 2

Determinar o comprimento de onda \lambda a partir da relação fundamental
v = f\,\lambda.
Substituindo v=400 m/s e f=600 Hz, temos
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{400}{600} = \frac{2}{3}\,\text{m}\approx0,667\;\text{m}.

Passo 3

Como a onda estacionária possui dois comprimentos de onda ao longo da corda, o comprimento total L da corda é
L = 2\,\lambda = 2\times\frac{2}{3}\,\text{m} = \frac{4}{3}\,\text{m}\approx1{,}33\;\text{m}.

Passo 4

A forma geral de uma onda estacionária numa corda fixa em x=0 e x=L é
y(x,t) = A\,\sin(kx)\,\cos(\omega t),
onde
k = \frac{2\pi}{\lambda}, \quad \omega = 2\pi f,
e A é a amplitude máxima da oscilação.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
A = 2{,}0\;\text{mm} = 2{,}0\times10^{-3}\;\text{m}, \quad k = \frac{2\pi}{2/3} = 3\pi\;\text{rad/m}, \quad \omega = 2\pi\times600 = 1200\pi\;\text{rad/s}.
Logo, a expressão do deslocamento é
y(x,t) = 2{,}0\times10^{-3}\,\sin\bigl(3\pi\,x\bigr)\,\cos\bigl(1200\pi\,t\bigr).

Resposta

(a) L = 1{,}33\;\text{m}.
(b) y(x,t) = 2{,}0\times10^{-3}\,\sin\bigl(3\pi\,x\bigr)\,\cos\bigl(1200\pi\,t\bigr).

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