Passe para função cosseno com amplitude positiva:
i=-5 \operatorname{sen}\left(5 t+30^{\circ}\right)-10 \cos \left(5 t-45^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
i = -5 \operatorname{sen}\left(5t+30^\circ\right) - 10 \cos\left(5t-45^\circ\right)
e pede que a escrevamos como uma única função cosseno com amplitude positiva, ou seja, na forma
i = A \cos\!\left(5t + \varphi\right)
com A>0. Vou listar o que temos:
  • Primeiro termo: -5 \operatorname{sen}(5t+30^\circ).
  • Segundo termo: -10 \cos(5t-45^\circ).
    O objetivo explícito: encontrar A>0 e \varphi tais que a soma seja escrita como acima.

Passo 2

Primeiro passo técnico: transformar o seno em cosseno para trabalhar com coisas homogêneas. Usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}(\alpha)=\cos(\alpha-90^\circ).
Aplicando isso ao primeiro termo:
-5\operatorname{sen}\left(5t+30^\circ\right) = -5\cos\left(5t+30^\circ-90^\circ\right) = -5\cos\left(5t-60^\circ\right).
Agora a soma fica
i = -5\cos\left(5t-60^\circ\right) - 10\cos\left(5t-45^\circ\right).

Passo 3

Queremos amplitude positiva. Uma maneira prática é transformar cada termo para ter amplitude positiva usando que multiplicar por -1 equivale a somar 180^\circ na fase:
- C\cos(\theta+\psi) = C\cos(\theta+\psi+180^\circ)\quad\text{(pois \(\cos(\cdot+180^\circ)=-\cos(\cdot)\)).}
Aplicando ao nossos termos:
-5\cos\left(5t-60^\circ\right) = 5\cos\left(5t-60^\circ+180^\circ\right) = 5\cos\left(5t+120^\circ\right),
-10\cos\left(5t-45^\circ\right) = 10\cos\left(5t-45^\circ+180^\circ\right) = 10\cos\left(5t+135^\circ\right).
Portanto
i = 5\cos\left(5t+120^\circ\right) + 10\cos\left(5t+135^\circ\right).
Observe que agora ambos os termos têm amplitudes positivas, o que facilita somar como um único cosseno.

Passo 4

Explicando o método de soma (fórmula que você usará na prova): cada termo \displaystyle C\cos(5t+\varphi) pode ser visto como a parte real de C e^{j\varphi} e^{j5t}. Então somar cossenos com a mesma frequência equivale a somar os correspondentes fasores (números complexos) e depois tomar a parte real:
\text{fasor resultante } = 5 e^{j120^\circ} + 10 e^{j135^\circ}.
Se chamarmos esse fasor de A e^{j\varphi}, então
i = \Re\{A e^{j\varphi} e^{j5t}\} = A\cos(5t+\varphi),
com A=|5 e^{j120^\circ}+10 e^{j135^\circ}| e \varphi=\arg(5 e^{j120^\circ}+10 e^{j135^\circ}).

Passo 5

Agora calculamos o somatório de fasores em forma cartesiana usando valores trigonométricos exatos:
5 e^{j120^\circ} = 5\big(\cos120^\circ + j\sin120^\circ\big) = 5\Big(-\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big),
10 e^{j135^\circ} = 10\big(\cos135^\circ + j\sin135^\circ\big) = 10\Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2} + j\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big).
Somando as partes reais e imaginárias:
\text{Re} = 5\Big(-\tfrac{1}{2}\Big) + 10\Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big) = -\tfrac{5}{2} - 5\sqrt{2} = -5\Big(\tfrac{1}{2}+\sqrt{2}\Big),
\text{Im} = 5\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) + 10\Big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big) = \tfrac{5\sqrt{3}}{2} + 5\sqrt{2} = 5\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}\Big).
Chamando a=\tfrac{1}{2}+\sqrt{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}, o fasor resultante é
F = 5\big(-a + j b\big).

Passo 6

Magnitude A: usamos A=|F|=5\sqrt{a^2+b^2}. Calculamos a^2+b^2 explicitamente:
a^2 = \left(\tfrac{1}{2}+\sqrt{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4} + \sqrt{2} + 2 = \tfrac{9}{4} + \sqrt{2},
b^2 = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}\right)^2 = \tfrac{3}{4} + \sqrt{6} + 2 = \tfrac{11}{4} + \sqrt{6}.
Somando:
a^2+b^2 = \left(\tfrac{9}{4}+\sqrt{2}\right) + \left(\tfrac{11}{4}+\sqrt{6}\right) = 5 + \sqrt{2} + \sqrt{6}.
Portanto a amplitude exata é
A = 5\sqrt{5 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}.
Cálculo numérico aproximado:
A \approx 14,879\quad(\text{arredondando para três casas decimais}).ê

Passo 7

Fase \varphi: como a parte real é negativa e a imaginária positiva, o ângulo está no segundo quadrante. Podemos escrever
\varphi = 180^\circ - \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right),
com a=\tfrac{1}{2}+\sqrt{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}. Calculando numericamente
\frac{b}{a} \approx 1,1917536\quad\Rightarrow\quad \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)\approx 50,14^\circ,
então
\varphi \approx 180^\circ - 50,14^\circ = 129,86^\circ.

Passo 8

Colocando tudo junto: a soma original pode ser escrita como
i = A \cos\!\left(5t + \varphi\right)
com A e \varphi calculados acima. Uma forma exata para A e uma forma numérica aproximada para ambos é conveniente para a prova.

Resposta

i = 5\sqrt{5+\sqrt{2}+\sqrt{6}}\;\cos\!\left(5t + 129,86^\circ\right)\quad\approx\quad 14,879\cos\!\left(5t + 129,86^\circ\right)

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