Passe para função cosseno com amplitude positiva:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que a escrevamos como uma única função cosseno com amplitude positiva, ou seja, na forma
com
. Vou listar o que temos:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
.
O objetivo explícito: encontrare tais que a soma seja escrita como acima.
Passo 2
Primeiro passo técnico: transformar o seno em cosseno para trabalhar com coisas homogêneas. Usamos a identidade trigonométrica
Aplicando isso ao primeiro termo:
Agora a soma fica
Passo 3
Queremos amplitude positiva. Uma maneira prática é transformar cada termo para ter amplitude positiva usando que multiplicar por
equivale a somar
na fase:
Aplicando ao nossos termos:
Portanto
Observe que agora ambos os termos têm amplitudes positivas, o que facilita somar como um único cosseno.
Passo 4
Explicando o método de soma (fórmula que você usará na prova): cada termo
pode ser visto como a parte real de
. Então somar cossenos com a mesma frequência equivale a somar os correspondentes fasores (números complexos) e depois tomar a parte real:
Se chamarmos esse fasor de
, então
com
e
.
Passo 5
Agora calculamos o somatório de fasores em forma cartesiana usando valores trigonométricos exatos:
Somando as partes reais e imaginárias:
Chamando
e
, o fasor resultante é
Passo 6
Magnitude
: usamos
. Calculamos
explicitamente:
Somando:
Portanto a amplitude exata é
Cálculo numérico aproximado:
Passo 7
Fase
: como a parte real é negativa e a imaginária positiva, o ângulo está no segundo quadrante. Podemos escrever
com
e
. Calculando numericamente
então
Passo 8
Colocando tudo junto: a soma original pode ser escrita como
com
e
calculados acima. Uma forma exata para
e uma forma numérica aproximada para ambos é conveniente para a prova.