Determine o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas, cujas arestas são dadas pelos vetores canônicos.
Resp.: arccos (1raiz3).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas, sabendo que as arestas do cubo estão alinhadas aos vetores canônicos de R^3. O conteúdo necessário é produto escalar e norma de vetores para calcular o ângulo entre vetores.

Passo 2

Escolhemos como vetor da diagonal do cubo aquele que vai de (0,0,0) até (1,1,1), isto é
d = (1,1,1),
e uma aresta qualquer, por exemplo a que está ao longo do eixo x, é dada por
e = (1,0,0)

Passo 3

Para achar o ângulo phi entre dois vetores u e v usamos a fórmula
cos(phi) = ucdotv|u|;|v|

Passo 4

Calculamos o produto escalar entre d e e:
dcdote = (1,1,1)cdot(1,0,0) = 1

Passo 5

Calculamos as normas de d e e:
|d| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3, |e| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno, obtemos
cos(phi) = 1raiz3cdot 1 = 1raiz3,
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phi = arccos!l(tfrac1raiz3r)

Resposta

arccos!l(tfrac1raiz3r)

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