Sejam p=(2, k) e q=(3,5). Encontre k tal que:
o ângulo entre p e q é pi4 Resp: k=-8 ou k=12

Passo 1

O enunciado pede encontrar o valor de k de modo que o ângulo entre vec p=(2,k) e vec q=(3,5) seja pi/4. Esse é um problema de produto escalar e norma de vetores.

Passo 2

Pela definição do ângulo entre vetores, temos
costheta = vec p cdot vec q|vec p||vec q|
e queremos theta=pi/4, logo costheta=raiz2/2.

Passo 3

Calculando o produto escalar e as normas:
vec pcdotvec q = 2cdot 3 + kcdot 5 = 6 + 5k,
|vec p|=raiz2^2 + k^2=raiz4+k^2,
|vec q|=raiz3^2+5^2=raiz34.
Substituindo na fórmula:
6+5kraiz4+k^2,raiz34 = raiz22

Passo 4

Isolando e elevando ao quadrado:
6+5kraiz4+k^2,raiz34 = raiz22 ;Longrightarrow; 2(6+5k) = raiz2,raiz34,raiz4+k^2 ;Longrightarrow; 4(6+5k)^2 = 68(4+k^2)

Passo 5

Desenvolvendo:
4(36 + 60k + 25k^2) = 272 + 68k^2 ;Longrightarrow; 32k^2 + 240k - 128 = 0 ;Longrightarrow; 2k^2 + 15k - 8 = 0
O discriminante é De<a = 15^2 - 4cdot2cdot(-8)=289, com raizDe<a=17.

Passo 6

As raízes são
k = -15 pm 174 ;Longrightarrow; k = 24 = 12 ou k = -324 = -8

Resposta

k = -8 ou k = 12

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