Determine o ângulo entre os planos
x+2 y-z+3=0 \text { e } 2 x-y+2 z-1=0

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos e pede o ângulo entre eles. Informações fornecidas:
  • Plano 1: \;x+2y-z+3=0.
  • Plano 2: \;2x-y+2z-1=0.
O que se pede: determinar o ângulo entre esses dois planos.

Passo 2

Identificar os vetores normais de cada plano (pegando os coeficientes de x, y e z nas equações dos planos).
  • Para o plano \;x+2y-z+3=0, o vetor normal é \;n_1=(1,2,-1) (peguei estes coeficientes da primeira equação).
  • Para o plano \;2x-y+2z-1=0, o vetor normal é \;n_2=(2,-1,2) (peguei estes coeficientes da segunda equação).
Pequena explicação conceitual (por que usamos os normais): um plano é ortogonal ao seu vetor normal. O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre as direções perpendiculares a eles — isto é, o ângulo entre os seus vetores normais. Portanto basta calcular o ângulo entre \;n_1 e \;n_2.

Passo 3

Recordando a fórmula do produto escalar para dois vetores \;a e \;b:
a\cdot b = \|a\|\,\|b\| \cos\theta,
onde:
  • \;a\cdot b é o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes),
  • \;\|a\| e \;\|b\| são as normas (comprimentos) dos vetores,
  • \;\theta é o ângulo entre os vetores.
Vamos calcular passo a passo.
Calcule o produto escalar \;n_1\cdot n_2:
n_1\cdot n_2 = 1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 = 2 - 2 - 2 = -2.
Calcule as normas:
\|n_1\| = \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6},
\|n_2\| = \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3.

Passo 4

Usando a fórmula do produto escalar para obter o cosseno do ângulo \theta entre os normais:
\cos\theta = \frac{n_1\cdot n_2}{\|n_1\|\,\|n_2\|} = \frac{-2}{3\sqrt{6}}.
Interpretação do sinal: esse valor é negativo, o que corresponde a um ângulo obtuso entre os vetores normais. Como normalmente se reporta o ângulo entre planos como o menor ângulo (ângulo agudo entre as direções das faces), tomamos o valor absoluto do cosseno para obter o ângulo agudo \varphi:
\cos\varphi = \frac{2}{3\sqrt{6}}.
Portanto o ângulo entre os planos é
\varphi = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{2}{3\sqrt{6}}\right).
Cálculo numérico aproximado (converter para graus): avaliando numericamente dá
\varphi \approx 74{,}24^\circ.

Passo 5

Resumo didático curto para a prova (receita de bolso):
  1. Pegue os coeficientes de x,y,z de cada plano → vetores normais.
  2. Use produto escalar para achar \cos\theta = \dfrac{n_1\cdot n_2}{\|n_1\|\|n_2\|}.
  3. Se quiser o menor ângulo entre planos, use o valor absoluto do cosseno e calcule \operatorname{arccos}.

Resposta

\varphi = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{2}{3\sqrt{6}}\right) \approx 74{,}24^\circ

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