Determine o ângulo entre os planos
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos e pede o ângulo entre eles. Informações fornecidas:
- Plano 1:
. - Plano 2:
.
O que se pede: determinar o ângulo entre esses dois planos.
Passo 2
Identificar os vetores normais de cada plano (pegando os coeficientes de
,
e
nas equações dos planos).
- Para o plano
, o vetor normal é (peguei estes coeficientes da primeira equação). - Para o plano
, o vetor normal é (peguei estes coeficientes da segunda equação).
Pequena explicação conceitual (por que usamos os normais): um plano é ortogonal ao seu vetor normal. O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre as direções perpendiculares a eles — isto é, o ângulo entre os seus vetores normais. Portanto basta calcular o ângulo entre
e
.
Passo 3
Recordando a fórmula do produto escalar para dois vetores
e
:
onde:
-
é o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes), -
e são as normas (comprimentos) dos vetores, -
é o ângulo entre os vetores.
Vamos calcular passo a passo.
Calcule o produto escalar :
Calcule o produto escalar
Calcule as normas:
Passo 4
Usando a fórmula do produto escalar para obter o cosseno do ângulo
entre os normais:
Interpretação do sinal: esse valor é negativo, o que corresponde a um ângulo obtuso entre os vetores normais. Como normalmente se reporta o ângulo entre planos como o menor ângulo (ângulo agudo entre as direções das faces), tomamos o valor absoluto do cosseno para obter o ângulo agudo
:
Portanto o ângulo entre os planos é
Cálculo numérico aproximado (converter para graus): avaliando numericamente dá
Passo 5
Resumo didático curto para a prova (receita de bolso):
- Pegue os coeficientes de
de cada plano → vetores normais. - Use produto escalar para achar
. - Se quiser o menor ângulo entre planos, use o valor absoluto do cosseno e calcule
.