Encontre a distáncia entre os planos paralelos
\pi_{1}: 2 x-y+2 z-4=0, \quad \pi_{2}: 2 x-y+2 z+6=0 .

Passo 1

O enunciado dá dois planos paralelos e pede a distância entre eles. Os dados do problema são:
  • Plano \pi_{1}: 2x - y + 2z - 4 = 0.
  • Plano \pi_{2}: 2x - y + 2z + 6 = 0.
    A pergunta é: qual é a distância entre \pi_{1} e \pi_{2}?

Passo 2

Vamos identificar o vetor normal de cada plano. Lembre que um plano escrito como \,ax+by+cz+d=0\, tem vetor normal
\mathbf{n}=(a,b,c),
porque \mathbf{n} é perpendicular a qualquer direção tangente do plano.
Para \pi_{1} e \pi_{2} temos o mesmo triplet de coeficientes a=2, b=-1, c=2. Logo
\mathbf{n}=(2,-1,2).
Como os dois planos têm o mesmo vetor normal, eles são paralelos (ou coincidentes). Aqui não são coincidentes porque os termos constantes são diferentes ( -4 e +6).

Passo 3

Explicar a fórmula da distância entre um ponto e um plano (aula rápida e concreta).
Se um plano é \,ax+by+cz+d=0\, e P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto qualquer, a distância do ponto ao plano é dada por
\mathrm{dist}(P,\text{plano})=\frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Por que isso funciona (intuição): o numerador é o valor algébrico da equação do plano avaliada em P; geometria fala que esse valor é a componente do deslocamento ao longo da direção normal, e o denominador é o comprimento do vetor normal, então a razão é a projeção do vetor deslocamento sobre a direção normal — ou seja, a distância perpendicular.
Para dois planos paralelos \,ax+by+cz+d_1=0\, e \,ax+by+cz+d_2=0\,, basta escolher um ponto P em um dos planos e usar a fórmula acima para a distância até o outro plano. Fazendo a conta de maneira geral obtém-se a fórmula direta
\mathrm{dist}(\text{planos})=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Vou agora aplicar isso ao nosso caso.

Passo 4

Extrair a,b,c,d_1,d_2 dos planos dados:
  • Para ambos a=2, b=-1, c=2.
  • No plano \pi_{1} o termo constante é d_1=-4 (porque a equação é 2x-y+2z-4=0).
  • No plano \pi_{2} o termo constante é d_2=6 (porque a equação é 2x-y+2z+6=0).

Passo 5

Calcular o numerador |d_2-d_1| e o denominador \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}:
|d_2-d_1| = |6 - (-4)| = |10| = 10,
\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} = \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3.
A distância entre os planos é, portanto, a razão desses valores (o resultado final aparece na seção de resposta).

Resposta

\dfrac{10}{3}

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