O enunciado dá dois planos paralelos e pede a distância entre eles. Os dados do problema são:
Plano \pi_{1}: 2x - y + 2z - 4 = 0.
Plano \pi_{2}: 2x - y + 2z + 6 = 0.
A pergunta é: qual é a distância entre \pi_{1} e \pi_{2}?
Passo 2
Vamos identificar o vetor normal de cada plano. Lembre que um plano escrito como \,ax+by+cz+d=0\, tem vetor normal
\mathbf{n}=(a,b,c),
porque \mathbf{n} é perpendicular a qualquer direção tangente do plano.
Para \pi_{1} e \pi_{2} temos o mesmo triplet de coeficientes a=2, b=-1, c=2. Logo
\mathbf{n}=(2,-1,2).
Como os dois planos têm o mesmo vetor normal, eles são paralelos (ou coincidentes). Aqui não são coincidentes porque os termos constantes são diferentes (-4 e +6).
Passo 3
Explicar a fórmula da distância entre um ponto e um plano (aula rápida e concreta).
Se um plano é \,ax+by+cz+d=0\, e P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto qualquer, a distância do ponto ao plano é dada por
\mathrm{dist}(P,\text{plano})=\frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Por que isso funciona (intuição): o numerador é o valor algébrico da equação do plano avaliada em P; geometria fala que esse valor é a componente do deslocamento ao longo da direção normal, e o denominador é o comprimento do vetor normal, então a razão é a projeção do vetor deslocamento sobre a direção normal — ou seja, a distância perpendicular.
Para dois planos paralelos \,ax+by+cz+d_1=0\, e \,ax+by+cz+d_2=0\,, basta escolher um ponto P em um dos planos e usar a fórmula acima para a distância até o outro plano. Fazendo a conta de maneira geral obtém-se a fórmula direta