Determine a distáncia entre o ponto A(3,-1,2) e o plano
\pi: 2 x-2 y+z-5=0 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Ponto dado: A(3,-1,2).
  • Plano dado: \pi: 2x-2y+z-5=0.
O enunciado pede: determinar a distância (positiva) entre o ponto A e o plano \pi.

Passo 2

Entender a ideia geométrica e a fórmula que vamos usar.
  • O vetor normal ao plano \pi é \mathbf{n}=(a,b,c), onde o plano tem a equação ax+by+cz+d=0. Aqui, pelos coeficientes do plano, temos \mathbf{n}=(2,-2,1).
  • A distância entre um ponto A e o plano é o comprimento da projeção do vetor que liga A a qualquer ponto Q do plano sobre a direção do vetor normal \mathbf{n}.
  • Em fórmula, se \mathbf{AQ} é o vetor de A para um ponto Q no plano, então a distância é
\mathrm{dist}(A,\pi)=\frac{\left|\mathbf{AQ}\cdot\mathbf{n}\right|}{\|\mathbf{n}\|},
onde \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} é o produto escalar e \|\mathbf{n}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} é a norma (comprimento) do vetor normal.
  • Existe também a forma direta equivalente usando os coeficientes do plano:
\mathrm{dist}(A,\pi)=\frac{\left|a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},
onde (x_{0},y_{0},z_{0}) são as coordenadas de A.

Passo 3

Escolher um ponto Q no plano (pode ser qualquer um) para aplicar a versão com \mathbf{AQ}.
  • Encontrar um ponto Q satisfazendo a equação do plano \,2x-2y+z-5=0.
  • Por exemplo, escolha y=0 e x=2. Substituindo em \,2x-2y+z-5=0 temos 2\cdot2-0+z-5=0\Rightarrow 4+z-5=0\Rightarrow z=1.
  • Assim podemos escolher Q(2,0,1), que está no plano \pi.

Passo 4

Calcular o vetor \mathbf{AQ}, o produto escalar \mathbf{AQ}\cdot\mathbf{n} e a norma de \mathbf{n}.
  • Vetor \mathbf{AQ}=Q-A=(2-3,\;0-(-1),\;1-2)=(-1,1,-1).
  • Vetor normal \mathbf{n}=(2,-2,1).
  • Produto escalar:
\mathbf{AQ}\cdot\mathbf{n}=(-1)\cdot2 + 1\cdot(-2) + (-1)\cdot1 = -2 -2 -1 = -5.
  • Norma do normal:
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.

Passo 5

Aplicar a fórmula da distância e interpretar o valor.
  • Distância:
\mathrm{dist}(A,\pi)=\frac{\left|\mathbf{AQ}\cdot\mathbf{n}\right|}{\|\mathbf{n}\|}=\frac{|-5|}{3}=\frac{5}{3}.
  • Observação: usando a forma direta com os coeficientes do plano daria o mesmo, pois
2\cdot3+(-2)\cdot(-1)+1\cdot2-5=6+2+2-5=5,
e dividindo por \sqrt{4+4+1}=3 obtemos novamente \dfrac{5}{3}.

Resposta

\dfrac{5}{3}

Exercícios relacionados