Determine a distáncia entre o ponto
e o plano
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Ponto dado:
. - Plano dado:
.
O enunciado pede: determinar a distância (positiva) entre o ponto
e o plano
.
Passo 2
Entender a ideia geométrica e a fórmula que vamos usar.
- O vetor normal ao plano
é , onde o plano tem a equação . Aqui, pelos coeficientes do plano, temos . - A distância entre um ponto
e o plano é o comprimento da projeção do vetor que liga a qualquer ponto do plano sobre a direção do vetor normal . - Em fórmula, se
é o vetor de para um ponto no plano, então a distância é
onde
é o produto escalar e
é a norma (comprimento) do vetor normal.
- Existe também a forma direta equivalente usando os coeficientes do plano:
onde
são as coordenadas de
.
Passo 3
Escolher um ponto
no plano (pode ser qualquer um) para aplicar a versão com
.
- Encontrar um ponto
satisfazendo a equação do plano . - Por exemplo, escolha
e . Substituindo em temos . - Assim podemos escolher
, que está no plano .
Passo 4
Calcular o vetor
, o produto escalar
e a norma de
.
- Vetor
. - Vetor normal
. - Produto escalar:
- Norma do normal:
Passo 5
Aplicar a fórmula da distância e interpretar o valor.
- Distância:
- Observação: usando a forma direta com os coeficientes do plano daria o mesmo, pois
e dividindo por
obtemos novamente
.