Determine o ângulo entre:
r: X=(1,1,1)+\lambda(1,-2,3), \lambda \in \mathbb{R} e s: \frac{1-x}{2}=\frac{y-1}{4}=\frac{1-z}{6}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ângulo entre as retas
r: X=(1,1,1)+\lambda(1,-2,3),\\ \lambda\in\mathbb{R} e
s: \dfrac{1-x}{2}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{1-z}{6}.
Informações dadas que usaremos: a forma paramétrica de r (já fornecida) e a forma simétrica de s (aquela com frações iguais). A pergunta é: qual o ângulo entre essas duas retas no espaço?

Passo 2

Transformar a forma simétrica de s em forma paramétrica (isso facilita extrair o vetor-direção). Seja o valor comum igual a t, ou seja
\dfrac{1-x}{2}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{1-z}{6}=t.
Agora resolvemos cada igualdade para x,y,z:
\begin{aligned} \dfrac{1-x}{2}=t &\implies x=1-2t,\\[4pt] \dfrac{y-1}{4}=t &\implies y=1+4t,\\[4pt] \dfrac{1-z}{6}=t &\implies z=1-6t. \end{aligned}
Logo a forma paramétrica de s é
X=(1,1,1)+t(-2,4,-6),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 3

Extrair os vetores-direção das retas (vetor que indica a direção da reta; é o coeficiente do parâmetro):
\text{Para }r:\quad \vec{v}_r=(1,-2,3).
\text{Para }s:\quad \vec{v}_s=(-2,4,-6).
Comentário prático: o vetor-direção captura “para onde” a reta aponta; comparar esses vetores nos dá o ângulo entre as retas.

Passo 4

Explicar a fórmula para o ângulo entre vetores (e portanto entre retas). Para dois vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3, o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|},
onde \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar e \|\vec{u}\| é a norma (módulo) do vetor. O produto escalar de \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
e a norma é
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Observação importante (útil na prova): se um vetor é múltiplo escalar do outro, as retas são paralelas; o ângulo entre retas paralelas é 0 (ou, se os vetores apontam em sentidos opostos, o ângulo entre vetores pode ser \pi, e então a menor entre as retas é 0).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{v}_r\cdot\vec{v}_s. Usando \vec{v}_r=(1,-2,3) e \vec{v}_s=(-2,4,-6):
\vec{v}_r\cdot\vec{v}_s=1\cdot(-2)+(-2)\cdot 4 + 3\cdot(-6).
Calculando termo a termo:
1\cdot(-2)=-2,\quad (-2)\cdot 4=-8,\quad 3\cdot(-6)=-18.
Somando:
\vec{v}_r\cdot\vec{v}_s=-2-8-18=-28.

Passo 6

Calcular as normas \|\vec{v}_r\| e \|\vec{v}_s\|:
\|\vec{v}_r\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
\|\vec{v}_s\|=\sqrt{(-2)^2+4^2+(-6)^2}=\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56}.
Produto das normas:
\|\vec{v}_r\|\,\|\vec{v}_s\|=\sqrt{14}\,\sqrt{56}=\sqrt{14\cdot 56}=\sqrt{784}=28.
(Observe: 14\cdot 56=784 e \sqrt{784}=28.)

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\dfrac{\vec{v}_r\cdot\vec{v}_s}{\|\vec{v}_r\|\,\|\vec{v}_s\|}=\dfrac{-28}{28}=-1.
Logo
\theta=\operatorname{arccos}(-1)=\pi\\ \text{radianos} \\ (180^\circ).
Mas atenção ao significado geométrico: \theta=\pi é o ângulo entre os vetores com orientação; para o ângulo entre retas costuma-se tomar o menor ângulo entre as direções, ou seja \min(\theta,\pi-\theta). Aqui \pi-\theta=0. Além disso notamos diretamente que \vec{v}_s=-2\vec{v}_r, ou seja, \vec{v}_s é múltiplo escalar de \vec{v}_r, o que implica que as retas são paralelas. Portanto o ângulo entre as retas é 0.

Resposta

0\\ \text{rad} = 0^\circ

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