Determine o ângulo entre:
e
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ângulo entre as retas
e
.
Informações dadas que usaremos: a forma paramétrica de (já fornecida) e a forma simétrica de
(aquela com frações iguais). A pergunta é: qual o ângulo entre essas duas retas no espaço?
Informações dadas que usaremos: a forma paramétrica de
Passo 2
Transformar a forma simétrica de
em forma paramétrica (isso facilita extrair o vetor-direção). Seja o valor comum igual a
, ou seja
Agora resolvemos cada igualdade para
:
Logo a forma paramétrica de
é
Passo 3
Extrair os vetores-direção das retas (vetor que indica a direção da reta; é o coeficiente do parâmetro):
Comentário prático: o vetor-direção captura “para onde” a reta aponta; comparar esses vetores nos dá o ângulo entre as retas.
Passo 4
Explicar a fórmula para o ângulo entre vetores (e portanto entre retas). Para dois vetores
e
em
, o cosseno do ângulo
entre eles é dado por
onde
é o produto escalar e
é a norma (módulo) do vetor. O produto escalar de
e
é
e a norma é
Observação importante (útil na prova): se um vetor é múltiplo escalar do outro, as retas são paralelas; o ângulo entre retas paralelas é
(ou, se os vetores apontam em sentidos opostos, o ângulo entre vetores pode ser
, e então a menor entre as retas é
).
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Usando
e
:
Calculando termo a termo:
Somando:
Passo 6
Calcular as normas
e
:
Produto das normas:
(Observe:
e
.)
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula do cosseno:
Logo
Mas atenção ao significado geométrico:
é o ângulo entre os vetores com orientação; para o ângulo entre retas costuma-se tomar o menor ângulo entre as direções, ou seja
. Aqui
. Além disso notamos diretamente que
, ou seja,
é múltiplo escalar de
, o que implica que as retas são paralelas. Portanto o ângulo entre as retas é
.