Dados explícitos extraídos do enunciado que vamos usar: a equação paramétrica da reta (que fornece um ponto da reta e o vetor diretor) e a equação paramétrica do plano (que fornece um ponto do plano e dois vetores diretores do plano). A pergunta é apenas o ângulo entre a reta e o plano.]
Passo 2
Identificar o vetor diretor da reta e um ponto da reta a partir da equação paramétrica.
Da reta r temos, comparando com (x,y,z)=(1,1,-1)+k(1,1,1):
\text{vetor diretor da reta } d=\(1,1,1\).
Um ponto qualquer da reta (escolhemos k=0) é
P_r=(1,1,-1).
Explicação didática: a forma x=x_0 + k a,\; y=y_0 + k b,\; z=z_0 + k c representa uma reta que passa por (x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor (a,b,c). Aqui x_0=1,\;y_0=1,\;z_0=-1 e o vetor diretor é (1,1,1).
Passo 3
Identificar um ponto do plano e os vetores diretores do plano a partir da sua descrição.
Da descrição do plano \pi temos:
\text{ponto do plano } P_\pi=(1,1,1),
e os vetores diretores do plano
u=\(0,1,0\),\qquad v=\(1,1,1\).
Explicação didática: um plano descrito como P_0+\alpha u+\beta v contém o ponto P_0 e todos os vetores obtidos por combinação linear de u e v; esses dois vetores ficam dentro do plano e geram (espalham) o plano.
Passo 4
Calcular o vetor normal ao plano usando o produto vetorial u\times v e explicar o conceito.
Definição/idéia: o produto vetorial u\times v produz um vetor perpendicular a ambos u e v; portanto é um vetor normal ao plano gerado por u e v.
Explicação passo a passo do cálculo do determinante: para a componente \mathbf{i} multiplicamos os elementos da submatriz formada por segunda e terceira colunas e linhas 2 e 3: 1\cdot1-0\cdot1=1. Para \mathbf{j} fazemos a mesma ideia e trocamos sinal: dá 0. Para \mathbf{k} temos 0\cdot1-1\cdot1=-1. Isso gera n=(1,0,-1).]
Passo 5
Relacionar o ângulo entre a reta e o plano com o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano — fórmula e justificativa.
Seja \theta o ângulo entre a reta r e o plano \pi. Se \varphi for o ângulo entre o vetor diretor d da reta e o vetor normal n do plano, temos
Explicação didática: o ângulo entre a reta e o plano é o complemento do ângulo entre a reta e a normal, porque a normal é perpendicular ao plano. Então usamos a relação entre seno e cosseno (seno do complemento = cosseno do ângulo) e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores via produto escalar.
Passo 6
Calcular o produto escalar d\cdot n e as normas \lVert d\rVert e \lVert n\rVert; depois aplicar a fórmula.
Temos d=\(1,1,1) e n=\(1,0,-1). Calcule o produto escalar:
d\cdot n = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot(-1)=1+0-1=0.
Conclusão: a reta é paralela ao plano (direção perpendicular à normal) mas não está contida nele (ponto da reta não satisfaz equação do plano). Isso confirma o resultado \theta=0^\circ.