Determine o ângulo entre:
r:\left\{\begin{array}{ll}x & =1+k \\\ y & =1+k \\\ z & =-1+k\end{array} \quad k \in \mathbb{R}\right. e \pi: X=(1,1,1)+\alpha(0,1,0)+\beta(1,1,1), \alpha, \beta \in \mathbb{R}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o ângulo entre a reta r e o plano \pi.
Informações dadas:
r:\begin{cases} x=1+k\\[4pt] y=1+k\\[4pt] z=-1+k \end{cases}\quad k\in\mathbb{R}
\pi: X=(1,1,1)+\alpha(0,1,0)+\beta(1,1,1),\quad \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Dados explícitos extraídos do enunciado que vamos usar: a equação paramétrica da reta (que fornece um ponto da reta e o vetor diretor) e a equação paramétrica do plano (que fornece um ponto do plano e dois vetores diretores do plano). A pergunta é apenas o ângulo entre a reta e o plano.]

Passo 2

Identificar o vetor diretor da reta e um ponto da reta a partir da equação paramétrica.
Da reta r temos, comparando com (x,y,z)=(1,1,-1)+k(1,1,1):
\text{vetor diretor da reta } d=\(1,1,1\).
Um ponto qualquer da reta (escolhemos k=0) é
P_r=(1,1,-1).
Explicação didática: a forma x=x_0 + k a,\; y=y_0 + k b,\; z=z_0 + k c representa uma reta que passa por (x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor (a,b,c). Aqui x_0=1,\;y_0=1,\;z_0=-1 e o vetor diretor é (1,1,1).

Passo 3

Identificar um ponto do plano e os vetores diretores do plano a partir da sua descrição.
Da descrição do plano \pi temos:
\text{ponto do plano } P_\pi=(1,1,1),
e os vetores diretores do plano
u=\(0,1,0\),\qquad v=\(1,1,1\).
Explicação didática: um plano descrito como P_0+\alpha u+\beta v contém o ponto P_0 e todos os vetores obtidos por combinação linear de u e v; esses dois vetores ficam dentro do plano e geram (espalham) o plano.

Passo 4

Calcular o vetor normal ao plano usando o produto vetorial u\times v e explicar o conceito.
Definição/idéia: o produto vetorial u\times v produz um vetor perpendicular a ambos u e v; portanto é um vetor normal ao plano gerado por u e v.
Calculemos:
n = u\times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot1-0\cdot1)-\mathbf{j}(0\cdot1-0\cdot1)+\mathbf{k}(0\cdot1-1\cdot1).
Portanto
n=\(1,0,-1\).
Explicação passo a passo do cálculo do determinante: para a componente \mathbf{i} multiplicamos os elementos da submatriz formada por segunda e terceira colunas e linhas 2 e 3: 1\cdot1-0\cdot1=1. Para \mathbf{j} fazemos a mesma ideia e trocamos sinal: dá 0. Para \mathbf{k} temos 0\cdot1-1\cdot1=-1. Isso gera n=(1,0,-1).]

Passo 5

Relacionar o ângulo entre a reta e o plano com o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano — fórmula e justificativa.
Seja \theta o ângulo entre a reta r e o plano \pi. Se \varphi for o ângulo entre o vetor diretor d da reta e o vetor normal n do plano, temos
\theta = 90^\circ - \varphi.
Da relação trigonométrica segue
\sin\theta = \cos\varphi = \frac{|d\cdot n|}{\lVert d\rVert\,\lVert n\rVert}.
Explicação didática: o ângulo entre a reta e o plano é o complemento do ângulo entre a reta e a normal, porque a normal é perpendicular ao plano. Então usamos a relação entre seno e cosseno (seno do complemento = cosseno do ângulo) e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores via produto escalar.

Passo 6

Calcular o produto escalar d\cdot n e as normas \lVert d\rVert e \lVert n\rVert; depois aplicar a fórmula.
Temos d=\(1,1,1) e n=\(1,0,-1). Calcule o produto escalar:
d\cdot n = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot(-1)=1+0-1=0.
Normas:
\lVert d\rVert = \sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}, \qquad \lVert n\rVert = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
Aplicando a fórmula
\sin\theta = \frac{|d\cdot n|}{\lVert d\rVert\,\lVert n\rVert} = \frac{0}{\sqrt{3}\sqrt{2}}=0.
Logo \sin\theta=0 implica \theta=0^\circ (no intervalo usual 0^\circ\le\theta\le90^\circ).
Interpretação: o ângulo entre a reta e o plano é 0^\circ, isto é, a reta é paralela ao plano (faz ângulo nulo com ele).

Passo 7

Verificar se a reta está contida no plano ou apenas é paralela (cheque de pertencimento de ponto).
Para verificar se a reta está no plano, testamos se um ponto da reta pertence ao plano. Tomamos P_r=(1,1,-1) (para k=0) e tentamos resolver
(1,1,-1)=(1,1,1)+\alpha(0,1,0)+\beta(1,1,1)
em \alpha,\beta.
Das coordenadas x e y:
x:\;1=1+0\cdot\alpha+\beta\Rightarrow \beta=0,
y:\;1=1+\alpha+\beta\Rightarrow 1=1+\alpha+0\Rightarrow \alpha=0.
Mas na coordenada z:
z:\;-1=1+0\cdot\alpha+\beta\Rightarrow -1=1+0\Rightarrow -1=1,
o que é uma contradição. Portanto P_r\notin\pi.
Conclusão: a reta é paralela ao plano (direção perpendicular à normal) mas não está contida nele (ponto da reta não satisfaz equação do plano). Isso confirma o resultado \theta=0^\circ.

Resposta

0^\circ

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