Determine o ângulo entre a reta (r):(x, y, z)=(2,0,1)+t(-1,-2,-2) com a reta definida pelos pontos A(4,0,-1) e B(-2,-3,1).

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas em R^3. Para isso vamos usar o conteúdo de geometria vetorial: obter os vetores diretores de cada reta, calcular o produto escalar e as normas desses vetores, e então usar a fórmula
costheta = lvert vcdotwrvert|v|;|w|,
onde v e w são os vetores diretores das retas.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor da reta (r) diretamente do enunciado:
v = (-1,,-2,,-2)
O vetor diretor da reta que passa por A(4,0,-1) e B(-2,-3,1) é
w = AB = B - A = (-2-4,,-3-0,;1 -(-1)) = (-6,,-3,,2)

Passo 3

Calculamos o produto escalar vcdotw:
vcdotw = (-1)cdot(-6) + (-2)cdot(-3) + (-2)cdot2 = 6 + 6 - 4 = 8

Passo 4

Calculamos as normas dos vetores:
|v| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = 3,
|w| = raiz(-6)^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz36 + 9 + 4 = 7

Passo 5

Aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo theta:
costheta = lvert vcdotwrvert|v|;|w| = 83 times 7 = 821

Passo 6

Por fim, o ângulo é
theta = arccos!l(tfrac821r)
Em graus, isso dá aproximadamente 67,6^circ.

Resposta

theta = arccos!l(tfrac821r)approx 67,6^circ

Exercícios relacionados