Dadas as equações paramétricas:
r:cx=2+t y=3-t z=-4+2 t
s:c x=1+3 t y=2-4 t z=3-t
c) Escreva as equações simétricas das retas r e s;

Passo 1

O enunciado pede para converter as equações paramétricas das retas r e s em suas formas simétricas. O conteúdo é Geometria Analítica de reta no espaço. Para isso, vamos usar que, se
x = x0 + a,t, y = y0 + b,t, z = z0 + c,t
com a,b,cneq0, então
t = x - x0a = y - y0b = z - z0c

Passo 2

Aplicando a ideia geral para a reta r, temos
x = 2 + t, y = 3 - t, z = -4 + 2t
Aqui (x0,y0,z0) = (2,3,-4) e o vetor diretor é vec vr = (1,-1,2). Logo,
t = x - 2, t = -(y - 3), t = z + 42

Passo 3

Igualando as três expressões de t obtemos as equações simétricas de r:
x - 21 ;=;y - 3-1;=;z + 42

Passo 4

Para a reta s, as equações paramétricas são
x = 1 + 3t, y = 2 - 4t, z = 3 - t
Aqui (x0,y0,z0)=(1,2,3) e o vetor diretor é vec vs=(3,-4,-1). Então
t = x - 13, t = 2 - y4, t = 3 - z

Passo 5

Igualando as expressões de t para s obtemos:
x - 13 ;=;2 - y4;=;3 - z

Resposta

Reta r:
x - 21 = y - 3-1 = z + 42
Reta s:
x - 13 = y - 2-4 = z - 3-1

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