Determine o ângulo entre a reta
e o plano
. O que podemos afirmar com esse resultado, em relação a posição relativa entre eles? Qual é a posição relativa entre eles?
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ângulo entre a reta
e o plano
e dizer qual é a posição relativa entre eles. Os dados relevantes do enunciado são:
Informações extraídas do enunciado que vamos usar:
- A reta tem vetor diretor
(obtido do coeficiente de na expressão da reta). - O plano tem vetor normal
(os coeficientes de na equação do plano). - A reta passa pelo ponto
(o termo independente do ponto na expressão da reta).
Passo 2
Vou explicar o conceito e a fórmula que vamos usar, passo a passo e com linguagem simples.
- Definição intuitiva: o “ângulo entre uma reta e um plano” é o menor ângulo entre a reta e qualquer reta contida no plano que passa pelo ponto de interseção (se houver). Uma maneira prática de calcular é relacioná-lo com o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
- Se
é o ângulo entre o vetor diretor e o vetor normal , então o ângulo entre a reta e o plano satisfaz . - Em termos de produto escalar, o cosseno de
é dado por
onde
é o produto escalar e
é o comprimento (norma) do vetor
.
- Como
, podemos usar a relação
Essa fórmula é útil porque transforma o problema do ângulo entre reta e plano num cálculo de produto escalar e normas.
Passo 3
Identificamos explicitamente os vetores:
Vou calcular o produto escalar
e as normas
e
.
Passo 4
Cálculo do produto escalar:
Faço cada termo:
Somando,
Portanto
.
Passo 5
Cálculo das normas (apenas para ver a forma completa; mas como o produto escalar é zero, o quociente ficará zero de qualquer forma):
Usando a fórmula da etapa 2,
Passo 6
Como
, o ângulo
entre a reta e o plano satisfaz
(tomando o ângulo entre
e
). Interpretação geométrica desse resultado:
-
significa que a reta é paralela ao plano (ou seja, a direção da reta está contida nas direções do plano). - Outra forma de ver isso:
significa que é perpendicular a ; vetores perpendiculares ao normal são vetores que ficam dentro do plano, então a direção da reta está dentro do plano.
Passo 7
Agora precisamos decidir se a reta está somente paralela ao plano (não o intercepta) ou se está contida no plano (toda a reta no plano). Para isso, verificamos se um ponto da reta pertence ao plano. Usamos o ponto
que aparece na equação da reta e substituímos na equação do plano:
Calculando:
O resultado é
, então o ponto
satisfaz a equação do plano. Isso significa que a reta passa por um ponto do plano e sua direção é paralela ao plano; portanto toda a reta está dentro do plano.
Passo 8
Conclusão combinada: o ângulo entre a reta e o plano é
e, como a reta tem direção paralela ao plano e contém um ponto do plano, a reta está contida no plano (ou seja,
pertence a
).
Resposta
Ângulo entre
e
:
.
Posição relativa: a reta está contida no plano
(ou seja,
).
Posição relativa: a reta