Determine o ângulo entre a reta r: X=(-2,-1,1)+\lambda(6,0,-3), \lambda \in \mathbb{R} e o plano \pi: 2 x-3 y+4 z-3=0. O que podemos afirmar com esse resultado, em relação a posição relativa entre eles? Qual é a posição relativa entre eles?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ângulo entre a reta r e o plano \pi e dizer qual é a posição relativa entre eles. Os dados relevantes do enunciado são:
r: X = (-2,-1,1) + \lambda(6,0,-3),\quad \lambda\in\mathbb{R}
\pi: 2x-3y+4z-3=0.
Informações extraídas do enunciado que vamos usar:
  • A reta tem vetor diretor \mathbf{d}=(6,0,-3) (obtido do coeficiente de \lambda na expressão da reta).
  • O plano tem vetor normal \mathbf{n}=(2,-3,4) (os coeficientes de x,y,z na equação do plano).
  • A reta passa pelo ponto P_0=(-2,-1,1) (o termo independente do ponto na expressão da reta).

Passo 2

Vou explicar o conceito e a fórmula que vamos usar, passo a passo e com linguagem simples.
  • Definição intuitiva: o “ângulo entre uma reta e um plano” é o menor ângulo entre a reta e qualquer reta contida no plano que passa pelo ponto de interseção (se houver). Uma maneira prática de calcular é relacioná-lo com o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
  • Se \alpha é o ângulo entre o vetor diretor \mathbf{d} e o vetor normal \mathbf{n}, então o ângulo \theta entre a reta e o plano satisfaz \theta=90^\circ-\alpha.
  • Em termos de produto escalar, o cosseno de \alpha é dado por
\cos\alpha=\frac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{d}\|\;\|\mathbf{n}\|},
onde \mathbf{d}\cdot\mathbf{n} é o produto escalar e \|\mathbf{v}\| é o comprimento (norma) do vetor \mathbf{v}.
  • Como \theta=90^\circ-\alpha, podemos usar a relação
\sin\theta=\cos\alpha=\frac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{d}\|\;\|\mathbf{n}\|}.
Essa fórmula é útil porque transforma o problema do ângulo entre reta e plano num cálculo de produto escalar e normas.

Passo 3

Identificamos explicitamente os vetores:
\mathbf{d}=(6,0,-3),\qquad \mathbf{n}=(2,-3,4).
Vou calcular o produto escalar \mathbf{d}\cdot\mathbf{n} e as normas \|\mathbf{d}\| e \|\mathbf{n}\|.

Passo 4

Cálculo do produto escalar:
\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}=6\cdot 2 + 0\cdot(-3) + (-3)\cdot 4.
Faço cada termo:
6\cdot 2 = 12,\quad 0\cdot(-3)=0,\quad (-3)\cdot 4 = -12.
Somando,
\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}=12+0-12=0.
Portanto |\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|=0.

Passo 5

Cálculo das normas (apenas para ver a forma completa; mas como o produto escalar é zero, o quociente ficará zero de qualquer forma):
\|\mathbf{d}\|=\sqrt{6^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{36+0+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}.
Usando a fórmula da etapa 2,
\sin\theta=\frac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{d}\|\;\|\mathbf{n}\|}=\frac{0}{3\sqrt{5}\cdot\sqrt{29}}=0.

Passo 6

Como \sin\theta=0, o ângulo \theta entre a reta e o plano satisfaz \theta=0^\circ (tomando o ângulo entre 0^\circ e 90^\circ). Interpretação geométrica desse resultado:
  • \theta=0^\circ significa que a reta é paralela ao plano (ou seja, a direção da reta está contida nas direções do plano).
  • Outra forma de ver isso: \mathbf{d}\cdot\mathbf{n}=0 significa que \mathbf{d} é perpendicular a \mathbf{n}; vetores perpendiculares ao normal são vetores que ficam dentro do plano, então a direção da reta está dentro do plano.

Passo 7

Agora precisamos decidir se a reta está somente paralela ao plano (não o intercepta) ou se está contida no plano (toda a reta no plano). Para isso, verificamos se um ponto da reta pertence ao plano. Usamos o ponto P_0=(-2,-1,1) que aparece na equação da reta e substituímos na equação do plano:
2(-2)-3(-1)+4(1)-3 = -4 +3 +4 -3.
Calculando:
-4+3=-1,\quad -1+4=3,\quad 3-3=0.
O resultado é 0, então o ponto P_0 satisfaz a equação do plano. Isso significa que a reta passa por um ponto do plano e sua direção é paralela ao plano; portanto toda a reta está dentro do plano.

Passo 8

Conclusão combinada: o ângulo entre a reta e o plano é \,0^\circ e, como a reta tem direção paralela ao plano e contém um ponto do plano, a reta está contida no plano (ou seja, r pertence a \pi).

Resposta

Ângulo entre r e \pi: 0^\circ.
Posição relativa: a reta r está contida no plano \pi (ou seja, r\subset\pi).

Exercícios relacionados